Equazione con VA

1-|2x+1|+|x-3|-|x| =0

2x+1 >=0  --> x >= -1/2

x >=0 

x-3 >=0 --> x >= 3

graficando i casi (linea piena segno + linea tratteggiata segno -) si notano come ci siano 4 casi da analizzare:

a. x<-1/2 

1+2x+1-x+3+x =0    x = -5/2 

b. -1/2 <= x<0

1-2x-1-x+3+x =0      x=3/2 Non accett

c. 0<=x <3

1-2x-1-x+3-x =0      x=3/4

d. x>=3

1-2x-1-x+3-x =0    x=3/4 non accett

Soluzioni: x=3/4 U x = -5/2

1 - ABS(2·x + 1) + ABS(x - 3) - ABS(x) = 0

I moduli si liberano:

ABS(2·x + 1) = 2·x + 1

se 2·x + 1 ≥ 0---> x ≥ - 1/2

ABS(2·x + 1) = - (2·x + 1) se x < - 1/2

ABS(x - 3) = x - 3  se x ≥ 3

ABS(x - 3) = 3 - x  se x < 3

ABS(x) = x  se x ≥ 0

ABS(x) = -x  se x < 0

Quindi si individuano 4 campi e quindi 4 sistemi di cui si dovrà poi fare l'unione delle soluzioni. Quindi è opportuno fare la seguente tabella:

Sistema 1:

{x < - 1/2

{1 + (2·x + 1) + (3 - x) + x = 0

soluzione: [x = - 5/2] compatibile con la condizione posta

Sistema 2:

{- 1/2 ≤ x < 0

{1 - (2·x + 1) + (3 - x) + x = 0

soluzione: [3/2] incompatibile con la condizione posta nel sistema

Sistema 3:

{0 ≤ x < 3

{1 - (2·x + 1) + (3 - x) - x = 0

soluzione:[ x = 3/4] compatibile con la condizione posta

Sistema 4:

{x ≥ 3

{1 - (2·x + 1) + (x - 3) - x = 0

soluzione: [x = - 3/2] incompatibile con la condizione posta a sistema.

L'equazione ammette quindi le soluzioni:

x = 3/4 ∨ x = - 5/2