equazione con radicali

Questa equazione irrazionale si può risolvere con metodo ordinario

8x^2 - 2 >= 0 => x^2 >= 1/4 => x <= -1/2 V x >= 1/2

Poniamo x^2 = t  con t >= 0

2 rad(t + 4) = 1 + rad(8t - 2)

la condizione di positività é soddisfatta - passando ai quadrati

4(t + 4) = 1 + 8t - 2 + 2 rad(8t - 2)

2 rad(8t - 2) = 17 - 4t

e la nuova condizione di positività equivale a 17 - 4t >= 0 => t <= 17/4

Quadrando ancora

4(8t - 2) = 289 + 16t^2 - 136 t

16 t^2 - 168 t + 297 = 0

t = (84 +- rad(7056 - 4752))/16 = (84 +- 48)/16

t = 132/16 = 33/4 ( inaccettabile perché maggiore di 17/4 )

t = 36/16 = 9/4 accettabile perché compresa fra 1/4 e 17/4

x^2 = 9/4 => x = +- 3/2

STRATEGIA USATA per un metodo molto pedissequo
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Quadrare membro a membro e annotare che sul risultato occorre escludere le spurie.
* 2*√(4 + x^2) = 1 + √(8*x^2 - 2) ≡
≡ 4*(4 + x^2) = 8*x^2 + 2*√(8*x^2 - 2) - 1
Isolare il radicale.
* 4*(4 + x^2) = 8*x^2 + 2*√(8*x^2 - 2) - 1 ≡
≡ 2*√(8*x^2 - 2) = 17 - 4*x^2
Quadrare membro a membro.
* 2*√(8*x^2 - 2) = 17 - 4*x^2 ≡
≡ 4*(8*x^2 - 2) = 16*x^4 - 136*x^2 + 289
Ridurre a forma normale canonica.
* 4*(8*x^2 - 2) = 16*x^4 - 136*x^2 + 289 ≡
≡ 16*x^4 - 168*x^2 + 297 = 0
Fattorizzare.
* 16*x^4 - 168*x^2 + 297 = 0 ≡
≡ 16*(x - 9/4)*(x^2 - 33/4) = 0 ≡
≡ (x + 3/2)*(x - 3/2)*(x + √33/2)*(x - √33/2) = 0 ≡
≡ (x + √33/2)*(x + 3/2)*(x - 3/2)*(x - √33/2) = 0
Applicare la legge d'annullamento del prodotto.
* (x + √33/2)*(x + 3/2)*(x - 3/2)*(x - √33/2) = 0 ≡
≡ (x + √33/2 = 0) oppure (x + 3/2 = 0) oppure (x - 3/2 = 0) oppure (x - √33/2 = 0)
Risolvere le equazioni alternative.
* (x + √33/2 = 0) oppure (x + 3/2 = 0) oppure (x - 3/2 = 0) oppure (x - √33/2 = 0) = 0 ≡
≡ (x = - √33/2) oppure (x = - 3/2) oppure (x = 3/2) oppure (x = √33/2)
Eseguire la verifica anti spurie.
* 2*√(4 + x^2) = 1 + √(8*x^2 - 2) ≡
≡ f(x) = √(8*x^2 - 2) - 2*√(4 + x^2) + 1 = 0
* f(- √33/2) = 2 ← radice spuria
* f(- 3/2) = 0 ← radice vera
* f(3/2) = 0 ← radice vera
* f(√33/2) = 2 ← radice spuria
Esibire il risultato.
* 2*√(4 + x^2) = 1 + √(8*x^2 - 2) ≡ (x = - 3/2) oppure (x = 3/2)