[Risolto] Equazione con i numeri complessi

$$z^2+2z-1-2\sqrt{3}i=0$$

In questo caso applichiamo direttamente la formula del delta al trinomio $z^2+2z-1-2\sqrt{3}i$:

$$z_{1,2}=-1\pm\sqrt{1+1+2\sqrt{3}i}=-1\pm\sqrt{2+2\sqrt{3}i}$$

Calcoliamo la radice del numero complesso $2+2\sqrt{3}i$ scrivendolo in forma trigonometrica . Calcoliamo, dunque, modulo e argomento principale:

$$r=\sqrt{4+4\cdot 3}=\sqrt{16}=4$$

Poichè il numero complesso si trova nel primo quadrante del piano di Gauss, anche l'argomento principale dovrà essere scelto in tale quadrante:

$$\theta=\arctan\frac{2\sqrt{3}}{2}=\arctan\sqrt{3}=60°=\frac{\pi}{3}$$

Il numero complesso scritto in forma trigonometrica è:

$$2+2\sqrt{3}i=4\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

Dunque, le radici quadrate del numero complesso in questione sono:

$$\omega_k =\sqrt{2+2\sqrt{3}i}=\sqrt{4\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)}=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{6}+k\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}+k\pi\right)\right]$$

per $k=0,1$. In particolare avremo:

$$\omega_0=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=\sqrt{3}+i$$ $$\begin{array}{l} \omega_1 &=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{6}+\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}+\pi\right)\right]=2\left[\cos\left(\frac{7}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{7}{6}\pi\right)\right]=\\ &=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=-\sqrt{3}-i\end{array}$$

Possiamo dunque riscrivere le soluzioni nel modo che segue:

$$z_{1,2}=-1\pm\sqrt{2+2\sqrt{3}i}=-1\pm (\sqrt{3}+i)$$

Osserviamo che, un'equazioni di grado $n$ nel campo dei numeri complessi ha sempre $n$ radici!

L'equazione
* z^2 + 2*z - (1 + i*2*√3) = 0
ha già la forma canonica monica
* z^2 - s*z + p = (z - Z1)*(z - Z2) = 0
con
* s = - 2
* p = - (1 + i*2*√3)
da cui
* Δ = s^2 − 4*p = (- 2)^2 − 4*(- (1 + i*2*√3)) = 8*(1 + i*√3)
* √Δ = 2*√(2*(1 + i*√3)) = 2*(√3 + i)
* Z1 = (s - √Δ)/2 = (- 2 - 2*(√3 + i))/2 = - (1 + √3 + i)
* Z2 = (s + √Δ)/2 = (- 2 + 2*(√3 + i))/2 = - (1 - √3 - i)
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CONTROPROVA nel paragrafo "Result" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=expand%28z%2B%281%2B%E2%88%9A3%2Bi%29%29*%28z%2B%281-%E2%88%9A3-i%29%29