[Risolto] Equazione circonferenza, tangenti e coordinate punti tangenza

Ciao, Comincia a vedere il disegno allegato, poi dopo pennichella ti rispondo meglio.

Con la precisazione che hai fatto (La prima parte è quella che non riesco a risolvere, cioè la ricerca dell'equazione della circonferenza con i dati forniti dal problema..) rispondo solo a quanto tu hai richiesto. Se ci fossero dubbi per la restante, ci risentiamo.

Verifichiamo che la retta data passi per [0, 2]:

3·x - 4·y + 8 = 0-----> 3·0 - 4·2 + 8 = 0----->0 = 0 OK!

Scriviamo il fascio di rette improprio perpendicolare alla retta data:

4·x + 3·y + q = 0

determiniamo q imponendo il passaggio : 4·0 + 3·2 + q = 0----> q + 6 = 0

Quindi la retta che così si ottiene la poni a sistema:

{4·x + 3·y - 6 = 0

{y = - 2·x + 3

che risolvi con sostituzione ottenendo le coordinate del centro:

4·x + 3·(- 2·x + 3) - 6 = 0----> 3 - 2·x = 0-----> x = 3/2

y = - 2·(3/2) + 3-----> y = 0

equazione cartesiana della circonferenza:

(x - 3/2)^2 + y^2 = r^2

determini r^2:

(3/2)^2 + 2^2 = 25/4

Quindi hai: (x - 3/2)^2 + y^2 = 25/4

in forma implicita: x^2 + y^2 - 3·x - 4 = 0

Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza trovando i tre parametri (a, b, q) che, tutt'e tre, sono implicitamente definiti dalla frase «è tangente nel punto A(0;2) alla retta 3x - 4y + 8 = 0 e ha il centro sulla retta di equazione y = - 2x + 3»
* il centro C come intersezione fra la "y = - 2x + 3" è la retta per A(0, 2) ortogonale alla "3x - 4y + 8 = 0" su cui deve giacere il raggio per il punto di tangenza A
* il raggio, ovviamente, come distanza |AC|.
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Le rette tangenti Γ per P(4, - 5), se esistono, sono quelle congiungenti P con le eventuali intersezioni fra Γ e la polare di P.