equazione circonferenza per tre punti

Premetto che non ho studiato le circonferenze, però questo esercizio puoi risolverlo con un sistema, proverò a fare quello che riesco con le mie scarse conoscenze pregresse.

Possiamo scrivere un'equazione di una circonferenza nella forma:

$(x+a)^2+(y+b)^2=r^2$

Data questa equazione, dire che un punto appartiene alla circonferenza significa dire che l'equazione è verificata per le coordinate di quel punto, ovviamente la circonferenza esiste perché se 3 punti non sono allineati allora per loro passa una sola circonferenza (mentre per 2 punti passano infinite circonferenze).

Quindi risolviamo questo esercizio creando un sistema e ponendo l'equazione come soddisfatta per le coordinate date, a quel punto ricaviamo i parametri $a,b,r^2$.

$\begin{equation} \begin{cases} (x_A+a)^2+(y_A+b)^2=r^2 \\ (x_B+a)^2+(y_B+b)^2 = r^2 \\ (x_C+a)^2+(y_C+b)^2=r^2 \end{cases} \end{equation}$ 

Risolviamo il sistema a tre incognite sostituendo le coordinate che sono valori noti:

$\begin{equation} \begin{cases} (a-4)^2+b^2=r^2 \\ (a-2)^2+(b-1)^2 = r^2 \\ (a-2)^2+(b-3)^2=r^2 \end{cases} \end{equation}$

FORTUNATAMENTE (evviva) i punti $B$ e $C$ hanno la stessa ascissa, quindi possiamo usare il metodo di riduzione sottraendo alla terza equazione la seconda e semplificarci la vita:

$(a-2)^2-(a-2)^2+(b-3)^2-(b-1)^2=r^2-r^2$

$(b-3)^2-(b-1)^2=0$
Questa è una differenza di quadrati, quindi:

$(b-3+b-1)(b-3-b-1)=0$

$-2(2b-4)=0$

$b=2$.

Adesso eguagliamo il primo membro della prima e della seconda equazione

(Possiamo farlo perché detto $A$ il primo membro della prima equazione e $B$ il primo della seconda, notiamo che sono entrambi uguali a $r^2$, quindi $A=r^2$, $B=r^2$, $A=B$)

$(a-4)^2+2^2=(a-2)^2+(2-1)^2$

$a^2-8a+16+4=a^2-4a+4+1$

$a=\frac{15}{4}$

Adesso sostituiamo $a=\frac{15}{4},\ b=2$ in un'equazione qualsiasi per ricavare $r^2$, io sceglierò la seconda:

$(\frac{15}{4}-2)^2+1^2=r^2$

$r^2=\frac{49}{16}+1$

$r^2=\frac{65}{16}$

In definitiva l'equazione della circonferenza è:

$(x+\frac{15}{4})^2+(y+2)^2=\frac{65}{16}$

(ed altre equazioni equivalenti)

Un grafico all'equazione:

https://www.desmos.com/calculator/ltwpo2zi7d