Data una circonferenza di raggio 2, disegna la parabola che passa per i punti A e B estremi di un diametro e ha il vertice in un estremo del diametro perpendicolare ad AB. Posto un opportuno sistema di riferimento, trova l'equazione della circonferenza e della parabola e inscrivi un quadrato nel segmento parabolico definito dalla retta AB.
Risposte : x^2 + y^2 = 4; y= -1/2 x^2 + 2; C(2(radical 2 -1); 4(radical 2 - 1)); è un vertice del quadratro.
Ringrazio, come sempre, chi vorrà aiutarmi
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Livello 1
Ciao di nuovo.
Metto la circonferenza con centro C nell'origine degli assi cartesiani. Quindi Equazione:
x^2+y^2= 4 ( si ha r=2)
Quindi assumo A(-2,0) e B(2,0)
La parabola a questo punto ha equazione tale per cui:
y = a·(x + 2)·(x - 2)
Deve passare da C(0,2):
2 = a·(0 + 2)·(0 - 2)-----> 2 = - 4·a------> a = - 1/2
Quindi: y = (- 1/2)·(x + 2)·(x - 2)------> y = 2 - x^2/2
Consideriamo ora un punto P della parabola appartenente al 1° quadrante
P(x,2 - x^2/2)
Se si vuole inscrivere nel segmento parabolico un quadrato, sfruttando la simmetria con l'asse delle y (x=0)
la ordinata di P deve essere doppia della sua ascissa:
2 - x^2/2 = 2·x risolvo ed ottengo: x = - 2·√2 - 2 ∨ x = 2·√2 - 2
Quindi: P(2·√2 - 2, 4·√2 - 4)
Poi sai continuare...
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Genius II
Sono d'accordo con te nel non usare LaTeχ, ma usare con Copia/Incolla qualche carattere UTF8 migliora la leggibilità: io perciò ne uso parecchi.
Non voglio forzarti, ma ti consiglio di provare: "√2" si legge meglio di "radical 2".
Se proprio non ti va, usa almeno una notazione standardizzata: "sqrt(2)".
Come tentazione ti copio qui gli UTF8 che uso più spesso
± √() ∫ → ∞ ~= α β γ δ ∂ ε η θ ζ λ μ ν π ρ σ ς τ ξ u φ χ χ² ω Γ Δ Ξ Λ Π Σ Φ Ω «» € ≡ ≠ ≈ ö ï ≤ ≥ × · ← ↑ → ↓ ↔ ↕ ¬ Ø ∩ £ ♠ ♣ ♥ ♦ © • ÷
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"Posto un opportuno sistema di riferimento"
Pongo come opportuno sistema di riferimento quello in cui i prescritti punti della parabola siano
* A(- 2, 0), V(0, - 2), B(2, 0)
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"trova l'equazione della circonferenza e della parabola"
In tale riferimento la circonferenza è
* x^2 + y^2 = 2^2
e la parabola ha la forma
* y = a*x^2 - 2
dove l'apertura a != 0 si determina dal vincolo
* 0 = a*(± 2)^2 - 2 ≡ a = 1/2
dovuto alla condizione d'appartenenza di A e B; la parabola è
* p(x) = y = x^2/2 - 2
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"inscrivi un quadrato nel segmento parabolico di corda AB"
Per simmetria il quadrato di vertici
* P(- k, p(- k)), Q(k, p(k)), R(k, 0), S(- k, 0)
deve avere
* (p(k) = - 2*k) & (0 < k < 2) ≡
≡ (k^2/2 - 2 = - 2*k) & (0 < k < 2) ≡
≡ k = 2*(√2 - 1)
da cui i vertici
* P(- 2*(√2 - 1), 4*(1 - √2)), Q(2*(√2 - 1), 4*(1 - √2)), R(2*(√2 - 1), 0), S(- 2*(√2 - 1), 0)
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E2--y%5E2%3D2%5E2%2Cy%3Dx%5E2%2F2-2%2C%28x%5E2--8*%E2%88%9A2-12%29*y*%28y--4*%E2%88%9A2-4%29%3D0%5D
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DETTAGLI
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Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
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La parabola ad asse verticale di apertura a e di vertice V(w, h) ha equazione
* y = h + a*(x - w)^2
57382
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Genius I
