Dall'origine degli assi cartesiani conduci una retta tale che la corda intercettata sulla circonferenza di equazione x^2+y^2-2y-3=0 abbia lunghezza √15
Soluzione y=+- √3x
Dall'origine degli assi cartesiani conduci una retta tale che la corda intercettata sulla circonferenza di equazione x^2+y^2-2y-3=0 abbia lunghezza √15
Soluzione y=+- √3x
{x^2 + y^2 - 2·y - 3 = 0
{y = m·x
per sostituzione: x^2 + (m·x)^2 - 2·(m·x) - 3 = 0
x^2·(m^2 + 1) - 2·m·x - 3 = 0
x = (m - √(4·m^2 + 3))/(m^2 + 1)
∨
x = (√(4·m^2 + 3) + m)/(m^2 + 1)
Quindi:
Δx = 2·√(4·m^2 + 3)/(m^2 + 1)
Δy = m·Δx
Δx^2+Δy^2=15
4·(4·m^2 + 3)/(m^2 + 1) = 15
4·(4·m^2 + 3)/(m^2 + 1) - 15 = 0
(m^2 - 3)/(m^2 + 1) = 0
m^2 - 3 = 0---> m = - √3 ∨ m = √3
y = ± √3·x
La circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 2*y - 3 = 0 ≡ x^2 + (y - 1)^2 = 2^2
ha centro C(0, 1) e raggio r = 2; c = √15 ~= 3.87 < 2*r.
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La retta richiesta (y = k*x), non essendo diametrale, non è unica; la sua distanza d da C è
* d = √(r^2 - (c/2)^2) = 1/2
quindi le DUE rette che soddisfanno alla specificazione sono le tangenti tirate dall'origine alla circonferenza
* γ ≡ x^2 + (y - 1)^2 = (1/2)^2
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Il sistema
* (y = k*x) & (x^2 + (y - 1)^2 = (1/2)^2)
ha risolvente
* x^2 + (k*x - 1)^2 - (1/2)^2 = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(k) = k^2 - 3 = 0
da cui il risultato atteso: k = ± √3.