[Risolto] Equazione Circonferenza

Il problema é davvero semplice, ma può aiutare costruirsi un grafico.

Riscritta l'equazione come 

x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4

(x-2)^2 + y^2 = 2^2 

si riconosce che la circonferenza rappresentativa ha centro C = (2,0) e raggio 2.

Ora si fissa k in ]0, 4]   (la corda di massima lunghezza é il diametro) 

e si ragiona nel modo seguente. 

Un punto che si trovi su questo luogo geometrico, 

essendo il punto medio di una corda di lunghezza k, ha una distanza dal centro 

dk tale che, per il Teorema di Pitagora, 

dk^2 = (2)^2 - (k/2)^2 ) = 4 - k^2/4 

per cui le sue coordinate verificano la relazione algebrica 

(x - 2)^2 + y^2 = 4 - k^2/4

x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4 + k^2/4 = 0

x^2 + y^2 - 4x + k^2/4 = 0 

che definisce una circonferenza concentrica rispetto a quella originaria.

@paolo1999

Ciao. Si parte da una circonferenza di equazione: x^2 + y^2 - 4·x = 0

in cui si riconosce che passa per l'origine in quanto manca del termine noto (c=0) ed ha centro C(2,0) con raggio R=2. Il luogo geometrico dei punti medi di ogni corda di lunghezza k definirà un insieme di circonferenze concentriche a quella assegnata di raggio :

r=√(2^2 - (k/2)^2) = √(16 - k^2)/2 con 0 ≤ k ≤ 4

Quindi ognuna di esse avrà equazione:

(x-2)^2+y^2=r^2-------> (x - 2)^2 + y^2 = (16 - k^2)/4

4·x^2 + 4·y^2 - 16·x + k^2 = 0

per k=0 si ottiene la circonferenza di partenza per k=4 degenera nel punto C quindi r=0

Per simmetria il luogo richiesto dev'essere una circonferenza (concentrica a quella data di raggio R) con raggio r(k) che, in funzione di k, varia da r(2*R) = 0 ad r(0) = R
* (2*R) = 0 <= r(k) < r(0) = R
in corrispondenza inversa a
* 0 < k <= 2*R
---------------
La circonferenza
* x^2 + y^2 - 4*x = 0 ≡ (x - 2)^2 + y^2 = 4
ha
* centro C(2, 0)
* raggio R = 2
---------------
Fra raggio R, semicorda k/2 e distanza dal centro r vale la relazione pitagorica
* R^2 = r^2 + (k/2)^2 ≡ r = √(R^2 - (k/2)^2) = √(4 - (k/2)^2)
da cui l'equazione del luogo
* Γ ≡ (x - 2)^2 + y^2 = 4 - (k/2)^2