[Risolto] EQUAZIONE

L'equazione nella variabile reale x
* (√(x + 2) - √(x - 2))/(√(x + 2) + √(x - 2)) = x/2 ≡
≡ (√(x + 2) - √(x - 2)) = x*(√(x + 2) + √(x - 2))/2 ≡
≡ (2*√(x + 2) - 2*√(x - 2) - x*√(x + 2) - x*√(x - 2))/2 = 0 ≡
≡ (2 - x)*√(x + 2) - (2 + x)*√(x - 2) = 0
è definita ovunque perché il denominatore originale non ha zeri né reali né complessi, quindi sono lecite le equivalenze delle precedenti riscritture. Il fatto che sia definita reale solo sulla semiretta x >= 2 è irrilevante nella ricerca delle radici.
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Assai rilevante è invece la necessità di verificare le radici risultanti per eliminare le eventuali radici spurie introdotte dalla risoluzione per quadrature. Si accetteranno solo quelle che avranno annullato la funzione
* f(x) = (√(x + 2) - √(x - 2))/(√(x + 2) + √(x - 2)) - x/2
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Risoluzione
* (2 - x)*√(x + 2) - (2 + x)*√(x - 2) = 0 ≡
≡ ((2 - x)*√(x + 2))^2 = ((2 + x)*√(x - 2))^2 ≡
≡ (x + 2)*(x - 2)^2 - (x - 2)*(x + 2)^2 = 0 ≡
≡ - 4*(x + 2)*(x - 2) = 0 ≡
≡ (x = - 2) oppure (x = 2)
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Verifiche
1) f(- 2) = (√(- 2 + 2) - √(- 2 - 2))/(√(- 2 + 2) + √(- 2 - 2)) - (- 2)/2 =
= - √(- 4)/√(- 4) + 1 =
= - 1 + 1 = 0
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2) f(2) = (√(2 + 2) - √(2 - 2))/(√(2 + 2) + √(2 - 2)) - 2/2 =
= √4/√4 - 1 =
= 1 - 1 = 0
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Risultato
* (√(x + 2) - √(x - 2))/(√(x + 2) + √(x - 2)) = x/2 ≡ x = ± 2
NOTA
Le radici sono entrambe lecite per la definizione di rapporto: per ogni entità non nulla, entità/entità = 1.

CE : x >= 2

razionalizzando

(rad(x+2) - rad(x-2))^2/(x+2 - x+2) = x/2

sviluppando e riducendo

(x + 2 + x - 2 - 2 rad(x^2 - 4)) = 2x

x - rad (x^2 - 4 ) = x

rad (x^2 - 4) = 0

x^2 - 4 = 0

x = +-2

va bene solo x = 2 perché la CE non é verificata per x = -2

Controprova grafica

https://www.desmos.com/calculator/ud8kazpsgl