[Risolto] Equazione

Devi avere presente che per trattare il modulo occorre sdoppiare l'equazione in due altre di cui l'originale rappresentava l'unione
* |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) oppure (a = + b)
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Nel risolvere l'equazione di ottavo grado
* a*(x^4 + a^4) = x^2 + a^2 - (√2)*|a*x|
[che è di grado otto perché |a*x| = √((a*x)^2)] prima di affrontare le difficoltà si annota la soluzione banale che salta all'occhio
* per a = 0 c'è una radice doppia nell'origine: x^2 = 0.
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Poi, per a != 0, s'affronta la prima difficoltà: isolare il modulo
* a*(x^4 + a^4) = x^2 + a^2 - (√2)*|a*x| ≡
≡ |a*x| = (a/√2)*(x^4 - x^2/a + (a^3 - 1)*a)
La seconda e ultima difficoltà è lo sdoppiamento
* |a*x| = (a/√2)*(x^4 - x^2/a + (a^3 - 1)*a) ≡
≡ (a*x = - (a/√2)*(x^4 - x^2/a + (a^3 - 1)*a)) oppure (a*x = (a/√2)*(x^4 - x^2/a + (a^3 - 1)*a))
da qui in poi si tratta solo di due equazioni quadratiche con condizione restrittiva.
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* (a*x = - (a/√2)*(x^4 - x^2/a + (a^3 - 1)*a)) & (a != 0) ≡
≡ ti lascio la rogna delle scritture algebriche
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* (a*x = (a/√2)*(x^4 - x^2/a + (a^3 - 1)*a)) & (a != 0) ≡
≡ ti lascio la rogna delle scritture algebriche
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AL VARIARE DEL PARAMETRO
si hanno le seguenti radici particolari
1) per a = 0, x^2 = 0
2) per a = 1, x = 0
3) per a = 2^(1/3) ~= 1.26, x = ± 2^(- 1/6) ~= ± 0.89
e in generale, per a != 0, otto radici fra reali e complesse.
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Data l'equivalenza a una quadratura dell'eliminazione del modulo, quando avrai le radici dovrai verificare che ciascuna di esse soddisfaccia all'equazione originale: ti suggerisco di usare WolframAlpha ricopiando nella sua casella di testo il comando
"a*(x^4+a^4)=x^2+a^2-(√2)*|a*x| where x= radice"
come ad esempio
http://www.wolframalpha.com/input?i=a*%28x%5E4%2Ba%5E4%29%3Dx%5E2%2Ba%5E2-%28%E2%88%9A2%29*%7Ca*x%7C+where+x%3D-2%5E%28-+1%2F6%29%2Ca%3D2%5E%281%2F3%29
che esclude le radici del caso tre.