[Risolto] Enuncia e dimostra il teorema

Problema:

Scrivi l'enunciato del teorema che ha come modello la seguente figura e l'ipotesi e la tesi indicate di seguito. Poi dimostra il teorema.

Ipotesi: $\overline{DE}=\overline{EF}$, $\overline{CE}=\overline{EB}$

Tesi: $\overline{AC} \parallel \overline{BF}$

Soluzione:

Enunciato:

Se dato un triangolo qualsiasi ABC ed una retta passante per il suo cateto $\overline{AC}$ in un punto $D$ ed il punto medio $E$ del suo cateto $\overline{BC}$, si ha che il prolungamento di una retta passante per il vertice $B$ che interseca la retta passante per i cateti $\overline{DE}$ in un punto F tale che $\overline{DE}=\overline{EF}$, allora la retta passante per $\overline{BF}$ risulta parallela al cateto $\overline{AC}$.

Dimostrazione:

Dato che gli angoli $C\widehat{E}D$ e $F\widehat{E}B$ sono opposti al vertice $E$, essi risultano essere congruenti e dato che per le ipotesi si ha che $\overline{DE}=\overline{EF}$ e $\overline{CE}=\overline{EB}$, risulta che i triangoli DCE e EFB sono congruenti tra loro per il principio di congruenza LAL [Lato-Angolo-Lato].

Poiché i due triangoli sono congruenti, si ha che anche gli angoli $C\widehat{D}E$ e $E\widehat{F}B$ sono congruenti tra loro e poiché $C\widehat{D}E+A\widehat{D}F=180º$ e $E\widehat{F}B+E\widehat{F}C'=180º$, ove C' è la proiezione di C sul prolungamento della retta passante per BF, si ha che $A\widehat{D}F=E\widehat{F}C'$ e dunque le rette passanti per AB e BF risultano essere parallele come da tesi.

Quod erat demonstrandum.