La distanza della Terra dal Sole è 1,521 • 10^11 m all'afelio e 1,471 • 10^11 m al perielio. La massa della Terra è 5,97 • 10^24 kg e quella del Sole è 1,99 • 10^30 kg, mentre il semiasse maggiore dell'orbita terrestre è 1,496 • 10^11 m.
Calcola
› l'energia meccanica totale del sistema Terra-Sole;
• la variazione di energia potenziale quando la Terra passa dal perielio all'afelio;
• la variazione di energia meccanica totale quando la Terra passa dal perielio all'afelio.
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Livello 1
Energia totale = 1/2 m v^2 + U
U = energia potenziale; è negativa per sistemi di due corpi legati, orbita chiusa.
U = - G M m / r;
Forza gravitazionale:
G M m / r^2 = m v^2 / r; (forza centrale);
G M / r = v^2 ;
1/2 m v^2 - G M m / r = E totale;
1/2 m G M / r - G M m / r = E totale;
- 1/2 G M m / r = E totale;
Semiasse maggiore a:
a = (r afelio + r perielio) / 2 ; distanza media della Terra dal Sole
- 1/2 * 6,67 * 10^-11 * 1,99 * 10^30 * 5,97 * 10^24/(1,496 * 10^11) =
E totale = - 2,65 * 10^33 J; l'energia totale è negativa perché il sistema Terra - Sole è legato, l'orbita è chiusa.
Delta U ; In afelio l'energia potenziale è maggiore rispetto all'energia potenziale in perielio.
invece l'energia cinetica è maggiore in perielio, quando la Terra è più vicina al Sole.
U afelio - U perielio = - G M m / (r afelio) - [- G M m / (r perielio)] =
= - G M m * [ 1 / (r afelio) - 1 / (r perielio)] =
= G M m * [1 / (r perielio) - 1 / (r afelio)] =
(G M m = 6,67 * 10^-11 * 1,99 * 10^30 * 5,97 * 10^24 = 7,924 * 10^44);
U afelio - U perielio = 7,924 * 10^44 * [1/(1,471 * 10^11) - 1/(1,521 * 10^11)]=
= 7,924 * 10^44 * [2,235 * 10^-13] = 1,77 * 10^32 J.
L'energia totale resta costante.
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Genius II
