[Risolto] Ellissi 1: aiuto

Preparo una sola risposta alle domande, pubblicate coi titoli "Elliss ... aiuto", ai link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/158808/
... /158809/ ... /158810/ ... /158811/
perché, oltre ad avere in comune il finale ("avrei bisogno anche dei calcoli… grazie"), si riferiscono tutt'e quattro a un'ellisse riferita ai propri assi (centrata nell'origine e con assi di simmetria su quelli coordinati) anche se con richieste differenti: grafico, fuochi, eccentricità, tangente, secante, ...
Così conto di risparmiare un bel po' di dattilografia e di dare @Mo (la Richiedente) una visione d'insieme sulle proprietà geometriche di tale conica a centro.
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Qual che sia la forma data dell'equazione di un'ellisse Γ riferita ai propri assi, per quasi tutti gli esercizi è opportuno ricavarne le due forme normali principali
* Γc ≡ p*x^2 + q*y^2 - r = 0: forma normale canonica
* Γs ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1: forma normale standard
Dalla forma canonica si calcolano le tangenti, dalla standard fuochi ed eccentricità.
Tutt'e quattro le equazioni sono date nella forma
* Γd ≡ p*x^2 + q*y^2 = r
da cui è immediato ricavare
* Γc ≡ p*x^2 + q*y^2 - r = 0
e inoltre
* Γd ≡ p*x^2 + q*y^2 = r ≡ x^2/(r/p) + y^2/(r/q) = 1 ≡
≡ (x/√(r/p))^2 + (y/√(r/q))^2 = 1 ≡ Γs
quindi
* (a = √(r/p)) & (b = √(r/q))
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Con: m = min(a, b); M = max(a, b); si ha
* c = √(M^2 - m^2) = semidistanza focale
* se a < b: fuochi F(0, ± c)
* se a > b: fuochi F(± c, 0)
* e = c/M = eccentricità
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Dalla Γc si ha la tangente t nel punto T(u, v) sostituendo "u*x" a x^2 e "v*y" a y^2
* t ≡ p*u*x + q*v*y - r = 0
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Data la secante
* s ≡ A*x + B*y + C = 0
da cui è comunque possibile esplicitare una variabile
* (A != 0) & (x = - (B*y + C)/A) oppure (B != 0) & (y = - (A*x + C)/B)
le sue intersezioni con Γ sono le due soluzioni del sistema
* s & Γs ≡ (A*x + B*y + C = 0) & ((x/a)^2 + (y/b)^2 = 1)
la cui risolvente si scrive sostituendo in Γs la variabile esplicitata da s.
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ESERCIZI
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Ellisse 1) "x2+ 2y2=12"
* Γc ≡ x^2 + 2*y^2 - 12 = 0
* Γs ≡ (x/√12)^2 + (y/√6)^2 = 1
* a > b → c = √(12 - 6) = √6 → F(± √6, 0) & e = √6/√12 = 1/√2
http://www.wolframalpha.com/input?i=x%5E2-12%3D-2*y%5E2
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Ellisse 2) "x2+4y2=8" e "P (2;1)"
* Γc ≡ x^2 + 4*y^2 - 8 = 0
* Γs ≡ (x/√8)^2 + (y/√2)^2 = 1
* t ≡ 2*x + 4*1*y - 8 = 0 ≡ y = (4 - x)/2
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%284-x%29%2F2%2Cx%5E2-8%3D-4*y%5E2%5D
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Ellisse 3) "2x2+6y2=24" e "y=x+2"
* Γc ≡ 2*x^2 + 6*y^2 - 24 = 0
* Γs ≡ (x/√12)^2 + (y/2)^2 = 1
* s & Γs ≡ (y = x + 2) & ((x/√12)^2 + (y/2)^2 = 1) ≡
≡ S1(- 3, - 1) oppure S2(0, 2)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-x%3D2%2C%28x%2F%E2%88%9A12%29%5E2%3D1-%28y%2F2%29%5E2%5Dx%3D-4to4%2Cy%3D-4to4
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Ellisse 4) "2x2+ 3y2=12" e "punto ( radice2; radice 2)"
* Γc ≡ 2*x^2 + 3*y^2 - 12 = 0
* Γs ≡ (x/√6)^2 + (y/2)^2 = 1
controllo: (√2/√6)^2 + (√2/2)^2 = 5/6 < 1 ≡ NON appartiene a Γ, le è interno.
* a > b → c = √(6 - 4) = √2 → F(± √2, 0) & e = √2/√6 = 1/√3
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-%E2%88%9A2%29*%28y-%E2%88%9A2%29%3D0%2C2*x%5E2-12%3D-3*y%5E2%5Dx%3D-3to3%2Cy%3D-3to3
con le rette coordinate di (√2, √2).