Determina l'equazione dell'ellisse avente due vertici nei punti di coordinate $( \pm 2,0)$, sapendo che il lato del quadrato inscritto nell'ellisse, con i lati paralleli agli assi cartesiani, misura 1.
$$
\left[x^2+15 y^2=4\right]
$$
Determina l'equazione dell'ellisse avente due vertici nei punti di coordinate $( \pm 2,0)$, sapendo che il lato del quadrato inscritto nell'ellisse, con i lati paralleli agli assi cartesiani, misura 1.
$$
\left[x^2+15 y^2=4\right]
$$
1764
punti
Livello 2
x^2/α + y^2/β = 1
passa per due punti:
[2,0] ed [1/2,1/2]
2^2/α + 0^2/β = 1
4/α = 1---> α = 4
poi:
(1/2)^2/4 + (1/2)^2/β = 1
1/(4·β) + 1/16 = 1
β = 4/15
x^2/4 + 15·y^2/4 = 1
(x^2/4 + 15·y^2/4 = 1)·4
x^2 + 15·y^2 = 4
88943
punti
Genius II
Le diagonali del quadrato descritto giacciono su quelle dei quadranti e, essendo il lato di misura uno, hanno misura √2.
Le intersezioni dell'ellisse Γ con la diagonale dei quadranti dispari
* (y = x) & ((x/2)^2 + (y/b)^2 = 1) ≡
≡ A(- 2*b/√(b^2 + 4), - 2*b/√(b^2 + 4)) oppure C(2*b/√(b^2 + 4), 2*b/√(b^2 + 4))
devono quindi distare √2 fra loro
* |AC| = 4*b*√(2/(b^2 + 4)) = √2 ≡ b = 2/√15
da cui
* Γ ≡ (x/2)^2 + (y/(2/√15))^2 = 1 ≡
≡ x^2 + 15*y^2 = 4
che è proprio il risultato atteso.
56990
punti
Genius I