[Risolto] ELLISSE E TANGENTI

Dopo aver verificato che il punto P(1,2) appartiene ad entrambe le ellisse.

Calcoliamo la retta tangente al punto P(1,2) usando le formule di sdoppiamento, che qui riassumo.

$ x^2 \to x\cdot P_x $

$ y^2 \to y\cdot P_y $

$ x \to \frac {(x-P_x)}{2}$

$ y \to \frac {(y-P_y)}{2}$

Nel nostro caso (con l'equazione della prima ellisse si ha

$1x +2(2y) - \frac{x+1}{2} - 7\frac{y+2}{2} + 6 = 0$

$ x+y-3 = 0$

Verifichiamola con il grafico

Per verificare che è la tangente anche della seconda ellisse possiamo procedere:

i) o con le formule di sdoppiamento e ritrovare la retta x+y-3 = 0

ii) Risolvere il sistema retta tangente ellisse e verificare che vi è una sola soluzione (con molteplicità due) corrispondente al punto P(1,2 ) 

* Γ1 ≡ x^2 + 2*y^2 - x - 7*y + 6 = 0
* Γ2 ≡ 2*x^2 + y^2 - 3*x - 3*y + 3 = 0
Sdoppiando rispetto a P(1, 2) la forma normale canonica delle Γ si hanno le polari
* Γ1 ≡ 1*x + 2*2*y - (1 + x)/2 - 7*(2 + y)/2 + 6 = 0 ≡ y = 3 - x
* Γ2 ≡ 2*1*x + 2*y - 3*(1 + x)/2 - 3*(2 + y)/2 + 3 = 0 ≡ y = 3 - x
che coincidono.
Ora se P(1, 2) è su entrambe le Γ allora la verifica ha avuto buon fine altrimenti no.
* 1^2 + 2*2^2 - 1 - 7*2 + 6 = 0
* 2*1^2 + 2^2 - 3*1 - 3*2 + 3 = 0
QED