Verifica che le ellissi di equazioni $x^2+2 y^2-x-7 y+6=0$ e $2 x^2+y^2-3 x-3 y+3=0$ sono tangenti nel loro punto $P(1,2)$, cioe che hanno in tale punto la stessa retta tangente.
Verifica che le ellissi di equazioni $x^2+2 y^2-x-7 y+6=0$ e $2 x^2+y^2-3 x-3 y+3=0$ sono tangenti nel loro punto $P(1,2)$, cioe che hanno in tale punto la stessa retta tangente.
Dopo aver verificato che il punto P(1,2) appartiene ad entrambe le ellisse.
Calcoliamo la retta tangente al punto P(1,2) usando le formule di sdoppiamento, che qui riassumo.
$ x^2 \to x\cdot P_x $
$ y^2 \to y\cdot P_y $
$ x \to \frac {(x-P_x)}{2}$
$ y \to \frac {(y-P_y)}{2}$
Nel nostro caso (con l'equazione della prima ellisse si ha
$1x +2(2y) - \frac{x+1}{2} - 7\frac{y+2}{2} + 6 = 0$
$ x+y-3 = 0$
Verifichiamola con il grafico
Per verificare che è la tangente anche della seconda ellisse possiamo procedere:
i) o con le formule di sdoppiamento e ritrovare la retta x+y-3 = 0
ii) Risolvere il sistema retta tangente ellisse e verificare che vi è una sola soluzione (con molteplicità due) corrispondente al punto P(1,2 )
* Γ1 ≡ x^2 + 2*y^2 - x - 7*y + 6 = 0
* Γ2 ≡ 2*x^2 + y^2 - 3*x - 3*y + 3 = 0
Sdoppiando rispetto a P(1, 2) la forma normale canonica delle Γ si hanno le polari
* Γ1 ≡ 1*x + 2*2*y - (1 + x)/2 - 7*(2 + y)/2 + 6 = 0 ≡ y = 3 - x
* Γ2 ≡ 2*1*x + 2*y - 3*(1 + x)/2 - 3*(2 + y)/2 + 3 = 0 ≡ y = 3 - x
che coincidono.
Ora se P(1, 2) è su entrambe le Γ allora la verifica ha avuto buon fine altrimenti no.
* 1^2 + 2*2^2 - 1 - 7*2 + 6 = 0
* 2*1^2 + 2^2 - 3*1 - 3*2 + 3 = 0
QED