[Risolto] ELLISSE E TANGENTI.

[0, μ] coordinate di A

m = TAN(60°) = √3

coefficiente angolare della retta AC (vedi figura)

y = μ + √3·x equazione retta AC

{x^2 + y^2/4 = 1

{y = μ + √3·x

procedo per sostituzione:

x^2 + (μ + √3·x)^2/4 - 1 = 0

x^2 + (3·x^2/4 + √3·μ·x/2 + μ^2/4) - 1 = 0

(7·x^2 + 2·√3·μ·x + μ^2 - 4)/4 = 0

7·x^2 + 2·√3·μ·x + (μ^2 - 4) = 0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

(√3·μ)^2 - 7·(μ^2 - 4) = 0

28 - 4·μ^2 = 0---> μ = - √7 ∨ μ = √7

Quindi: μ = - √7

Determino C 

{y = - √7 + √3·x

{y = 2

x = (√21 + 2·√3)/3 ∧ y = 2 coordinate di C

x = - (√21 + 2·√3)/3 ∧ y = 2 coordinate di B

(per la simmetria)

Α = 1/2·(2·(√21 + 2·√3)/3)·(2 + √7)

Α = 4·√21/3 + 11·√3/3

La conica Γ del piano Oxy
* Γ ≡ x^2 + y^2/4 = 1 ≡ 4*x^2 + y^2 - 4 = 0
induce, fra i punti e le rette del suo piano, una corrispondenza biunivoca detta polarità per la quale a ciascun punto del piano (polo) corrisponde una e una sola retta detta la sua polare; e, viceversa, a ciascuna retta corrisponde il suo unico polo.
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La retta polare p del polo P(u, v) rispetto a Γ si scrive sdoppiando rispetto a P la forma normale canonica di Γ
* p ≡ 4*u*x + v*y - 4 = 0
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Il triangolo equilatero di cui si chiede l'area, dovendo avere il vertice V(0, - k) con k > 2 e gli altri due vertici P(- w, 2) e Q(w, 2) con w > 0 sulla tangente y = 2 del vertice U(0, 2) dell'ellisse, ha per area S il semiprodotto fra la base b = 2*w e l'altezza h = k + 2
* S = b*h/2 = w*(k + 2)
Dovendo essere PQV equilatero dev'essere anche h = (√3/2)*b = (√3)*w, cioè
* w = (k + 2)/√3
* S = (k + 2)^2/√3
La polare di V interseca Γ nei punti di tangenza di PV e QV
* (y = - 4/k) & (x^2 + y^2/4 = 1) ≡
≡ T1(- √(k^2 - 4)/k, - 4/k) oppure T2(√(k^2 - 4)/k, - 4/k)
La congiungente QT2 ha pendenza
* m(k) = 6*(k + 2)/((√3)*k^2 + (2*√3)*k - 3*√(k^2 - 4))
che deve eguagliare tg(π/3) = √3
Il valore di k si determina dal sistema
* (6*(k + 2)/((√3)*k^2 + (2*√3)*k - 3*√(k^2 - 4)) = √3) & (k > 2) ≡
≡ k = √7
da cui
* S = (√7 + 2)^2/√3 = (11 + 4*√7)/√3 ~= 12.46
che è proprio il risultato atteso.