[Risolto] ELLISSE E TANGENTI.

• Il punto P(-2,0) risulta esterno all'ellisse, vedi grafico

   

questo significa che ha senso determinare le rette tangenti (non è un punto interno) e che le rette saranno due (non è un punto che appartiene all'ellisse).

Dall'intersezione delle rette del fascio passante per P(-2,0) con l'ellisse, determineremo i coefficienti angolari delle due rette che ammettono un unico punto di contatto con l'ellisse con molteplicità 2. Questo sarà sufficiente per scrivere le equazioni delle due tangenti. 

• Fascio di rette passanti per P(-2,0)

$y = m(x+2)$

• Intersezione rette /ellisse

Si tratta di risolvere il sistema

$ \left\{\begin{aligned} 4x^2+y^2 &= 4 \\y &= m(x+2) \end{aligned}\right.$

da cui

$ (4+m^2)x^2 +4m^2x +4(m^2-1) = 0$

il cui discriminante vale

$ Δ = 16m^4 - 4(m^2+4)(4m^2-4) $

imponiamo la tangenza, cioè  Δ = 0

$ m^4 -(m^2+4)(m^2-1) = 0$

Le cui soluzioni reali sono 

$ m^2 = \frac {4}{3}$ cioè $m = ± \frac {2\sqrt{3}}{3}$

Le due rette tangenti sono quindi

$ y = ± \frac {2\sqrt{3}}{3} (x+2)$

La conica Γ del piano Oxy
* Γ ≡ 4*x^2 + y^2 = 4 ≡ 4*x^2 + y^2 - 4 = 0
induce, fra i punti e le rette del suo piano, una corrispondenza biunivoca detta polarità per la quale a ciascun punto del piano (polo) corrisponde una e una sola retta detta la sua polare; e, viceversa, a ciascuna retta corrisponde il suo unico polo.
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La retta polare p del polo P(u, v) rispetto a Γ si scrive sdoppiando rispetto a P la forma normale canonica di Γ
* p ≡ 4*u*x + v*y - 4 = 0
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Il sistema fra Γ e la polare di P(- 2, 0)
* (4*(- 2)*x + 0*y - 4 = 0) & (4*x^2 + y^2 = 4) ≡
≡ A(- 1/2, - √3) oppure B(- 1/2, √3)
mostrando due intersezioni reali distinte dimostra due cose
* P è esterno a Γ
* A e B sono i punti di tangenza delle rette richieste
quindi
* AP ≡ y = - (2/√3)*(x + 2)
* BP ≡ y = + (2/√3)*(x + 2)
che è proprio il risultato atteso.
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%5E2%3D%284%2F3%29*%28x--2%29%5E2%2Cy%5E2%3D4-4*x%5E2%5Dx%3D-5%2F2to3%2F2