[Risolto] Ellisse e rette tangenti

x^2 + 4·y^2 = 12 risolvo rispetto ad y:

y = - √(12 - x^2)/2 ∨ y = √(12 - x^2)/2

considero la funzione in grassetto

y = √(12 - x^2)/2 per x = 3 ottengo: y = √(12 - 3^2)/2= √3/2

[3, √3/2] è il punto P di tangenza

Determino la retta tangente t i P con le formule di sdoppiamento:

3·x + 4·√3/2·y = 12 retta t

Impongo la condizione di perpendicolarità tra i coefficienti delle incognite:

2·√3·x - 3·y + c = 0

passa per P:

2·√3·3 - 3·(√3/2) + c = 0-----> c + 9·√3/2 = 0---> c = - 9·√3/2

2·√3·x - 3·y - 9·√3/2 = 0

4·√3·x - 6·y - 9·√3 = 0 retta n normale a t

Fuochi dell'ellisse

x^2/12 + y^2/3 = 1

α = a^2 = 12

β = b^2 = 3

α > β i fuochi stanno sull'asse delle x

γ = c^2 = α - β = 12 - 3

c^2 = 9---> c = -3 ∨ c = 3

[-3, 0] è F1; [3, 0] è F2

Ultima parte (vedi suggerimento del testo)

Determino Q:

{4·√3·x - 6·y - 9·√3 = 0

{y = 0

Risolvo ed ottengo: x = 9/4 ∧ y = 0

Q[9/4,0]

Vertici ellisse sull'asse x: a^2 = 12---> a = - 2·√3 ∨ a = 2·√3

Se la normale n risulta bisettrice dell'angolo considerato si dovrà verificare il relativo teorema:

F1P/F1Q = PF2/QF2

Quindi:

F1P = √((3 + 3)^2 + (√3/2 - 0)^2)= 7·√3/2

F1Q=ABS(9/4 + 3)= 21/4

PF2 = ABS(0 - √3/2)= √3/2

QF2=ABS(9/4 - 3)= 3/4

Quindi risultando:

7·√3/2/(21/4) = √3/2/(3/4)

2·√3/3 = 2·√3/3

Risulta verificato quanto si voleva dimostrare.

Considerazione dell'ellisse
Per localizzare P(3, y > 0) basta risolvere 3^2 + 4*y^2 = 12 ≡ y = ± √3/2, da cui P(3, √3/2).
Per localizzare F1 e F2 invece serve qualche calcolo in più: calcolare i semiassi (a, b) e la semidistanza focale c = √(|a^2 - b^2|)
* Γ ≡ x^2 + 4*y^2 = 12 ≡
≡ x^2/12 + y^2/3 = 1 ≡
≡ (x/(2*√3))^2 + (y/√3)^2 = 1
* (a, b) = (2*√3, √3)
* c = 3
* F(± 3, 0)
Risposte ai quesiti
1) Si determinano le rette dei raggi focali di P
* f1 ≡ PF1 ≡ y = (x + 3)/(4*√3)
* f2 ≡ PF2 ≡ x = 3
2) Si determinano le loro bisettrici
Il generico punto B(x, y) delle bisettrici dev'essere, per definizione, equidistante da entrambe le rette
* |Bf1| = √((x - (4*√3)*y + 3)^2)/7
* |Bf2| = √((x - 3)^2)
* |Bf1| = |Bf2| ≡
≡ √((x - (4*√3)*y + 3)^2)/7 = √((x - 3)^2) ≡
≡ (b1 ≡ y = - (√3/2)*(x - 4)) oppure (b2 ≡ y = 2*x/√3 - 3*√3/2)
tali bisettrici sono ovviamente ortogonali e, se una risulta tangente Γ (quesito A), l'altra dimostra quanto richiesto dal quesito B.
La tangente
Essendo P sul primo quadrante di un'ellisse riferita ai suoi assi, in una zona a pendenza negativa, la bisettrice tangente candidata è b1
* b1 & Γ ≡ (y = - (√3/2)*(x - 4)) & (x^2 + 4*y^2 = 12) →
→ x^2 + 4*(- (√3/2)*(x - 4))^2 - 12 = 0 ≡
≡ 4*(x - 3)^2 = 0
QED