Considera l'ellisse di equazione $\frac{x^2}{4}+y^2=1$. Indica con $A$ e $B$ i vertici dell'ellisse appartenenti ai semiassi positivi delle ascisse e delle ordinate. Determina i vertici dei triangoli isosceli sulla base $A B$ inscritti nellellisse. (Suggerimento: il problema equivale a determinare i punti di intersezione dell'ellisse con l'asse del segmento $A B$.)
$$
\left[\left(\frac{12 \pm \sqrt{59}}{17}, \frac{-3 \pm 4 \sqrt{59}}{34}\right)\right]
$$
1764
punti
Livello 2
In accordo a quanto specificato si determina A(2,0), B(1,0)
dalla definizione di asse di un segmento segue che
$(x-A_x)^2 + (y-A_y)^2 = (x-B_x)^2 + (y-B_y)^2$
$(x-2)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2$
$ 4x-2y-3 = 0$
$\left\{\begin{aligned} x^2 +4y^2 &= 4 \\ 4x-3y &= 3 \end{aligned}\right.$
Per sostituzione della seconda nella prima ricaviamo
$ x = \frac {12 ± \sqrt{59}}{17}$
a cui corrispondono i punti
$ P (\frac {12 - \sqrt{59}}{17}, \frac {-3 - 4\sqrt{59}}{34})$
$ Q (\frac {12 + \sqrt{59}}{17}, \frac {-3 + 4\sqrt{59}}{34})$
4497
punti
Livello 2
x^2/4 + y^2 = 1
da mettere a sistema con l'asse del segmento di estremi:
[2, 0] e [0, 1]
(x - 2)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2
x^2 - 4·x + y^2 + 4 = x^2 + (y^2 - 2·y + 1)
y = 2·x - 3/2
Quindi:
{x^2/4 + y^2 = 1
{y = 2·x - 3/2
Risolvo per sostituzione
x^2/4 + (2·x - 3/2)^2 - 1 = 0
17·x^2/4 - 6·x + 5/4 = 0
x = - (√59 - 12)/17 ∨ x = (√59 + 12)/17
x = - (√59 - 12)/17:
y = 2·(- (√59 - 12)/17) - 3/2
y = - (4·√59 + 3)/34
x = (√59 + 12)/17:
y = 2·((√59 + 12)/17) - 3/2
y = (4·√59 - 3)/34
Quindi due vertici C:
x = (√59 + 12)/17 ∧ y = (4·√59 - 3)/34
x = - (√59 - 12)/17 ∧ y = - (4·√59 + 3)/34
88943
punti
Genius II
