Sia $A$ il punto di ascissa 2 appartenente all'ellisse di equazione $\frac{x^2}{4}+y^2=1$. Indica con $r$ la retta passante per A e parallela alla retta di equazione $y=2 x$ e con s la retta passante per $A$ perpendicolare a $r$. Detti $B$ e $C$, rispettivamente, i punti di intersezione (diversi da $A$ ) di $r$ e $s$ con l'ellisse, calcola l'area del triangolo $A B C$.
$$
\left[\frac{10}{17}\right]
$$
2111
punti
Livello 2
2^2/4 + y^2 = 1
1 + y^2 = 1
y^2 = 0
y = 0
per cui A = (2,0)
r : y = 2x + q
0 = 2*2 + q => q = -4
y = 2x - 4
s : y = -1/2 x + q'
0 = -1/2*2 + q'
q' = 1
y = -1/2 x + 1
Ora dobbiamo vedere se r e s sono state ricavate correttamente
https://www.desmos.com/calculator/k7gnwhpljq
ora cerchiamo le due intersezioni
r ed E
x^2/4 + (2x - 4)^2 = 1
x^2 + 4 (4x^2 - 16x + 16) - 4
17x^2 - 64x + 60 = 0
x = (32 +- rad(1024 - 1020))/17 = (32 +- 2)/17 = 2 V 30/17
allora xB = 30/17 e yB = 60/17 - 4 = -8/17
s ed E
x^2/4 + (-1/2 x + 1)^2 = 1
x^2 + x^2/4 - x + 1 - 1 = 0
x^2/2 - x = 0
x^2 - 2x = 0
x(x-2) = 0
x = 0 V x = 2
C é distinto da A allora xC = 0
e yC = -1/2*0 + 1 = 1
B = (30/17, -8/17)
C = (0,1)
A = (2,0)
S[ABC] = 1/2 | det [2 0 1;30/17 -8/17 0;0 1 1 ] | =
= 1/2 | [ 2*(-8/17 - 1) - 0 + 30/17 * 1 ] | =
= 1/2 | - 25/17 * 2 + 30/17 | =
= 1/2 | - 20/17 | = 10/17
45401
punti
Livello 7
Il punto A(2, 0) è un vertice dell'ellisse
* Γ ≡ (x/2)^2 + y^2 = 1
e per esso passano tutte e sole le rette
* x = 2
* r(m) ≡ y = m*(x - 2) per ogni pendenza m reale.
Le rette richieste hanno pendenze m = 2 ed m' = - 1/2 quindi sono
* r ≡ y = 2*(x - 2)
* s ≡ y = (2 - x)/2
da cui
* r & Γ ≡ (y = 2*(x - 2)) & ((x/2)^2 + y^2 = 1) & (x < 2) ≡ B(30/17, - 8/17)
* s & Γ ≡ (y = (2 - x)/2) & ((x/2)^2 + y^2 = 1) & (x < 2) ≡ C(0, 1) altro vertice dell'ellisse
Il segmento AC, lungo √5, giace sulla retta y = 1 - x/2 che dista dal punto B l'altezza h sulla base AC
* h = 4*√5/17
il che dà l'area
* S = (√5)*(4*√5/17)/2 = 10/17
che è proprio il risultato atteso.
57150
punti
Genius I
