[Risolto] ELLISSE E LA RETTA.

• Determiniamo le coordinate dei Fuochi dell'ellisse. F(±√7, 0)
• Vertici A, B, C, D del rettangolo.

I vertici del rettangolo non sono altro che le intersezioni  dell'ellisse  con  le  rette   x = ±√7. Si tratta quindi di risolvere i due sistemi

$\left\{\begin{aligned} \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} & = 1 \\ x &= ± \sqrt{7} \end{aligned}\right.$

Le due soluzioni sono $y = ± \frac{9}{4}$

Le coordinate dei vertici saranno

$ A(\sqrt{7}, \frac{9}{4}) \qquad B(\sqrt{7}, \frac{-9}{4})$

$ C(-\sqrt{7}, \frac{-9}{4}) \qquad D(-\sqrt{7}, \frac{9}{4})$ 

• Lati del rettangolo.
  • • Lato AB = $A_y - B_y = \frac {9}{2}$
    • Lato DA = $A_x - D_x = 2 \sqrt{7}$
• Perimetro del rettangolo 
  • • $p = 2(AB + DA) = 9 + 4 \sqrt{7}$
• Area del rettangolo
  • • $S = AB \cdot DA = 9\sqrt{7}$

L'ellisse
* Γ ≡ x^2/16 + y^2/9 = 1 ≡ (x/4)^2 + (y/3)^2 = 1
ha semiassi (a, b) = (4, 3) e semidistanza focale c = √(a^2 - b^2) = √7
Stante la simmetria quadrantale dei vertici del rettangolo descritto in narrativa basta localizzare quello nel primo quadrante
* (x = √7) & ((x/4)^2 + (y/3)^2 = 1) & (y > 0) ≡ (√7, 9/4)
per scriverli tutti
* A(- √7, - 9/4), B(√7, - 9/4), C(√7, 9/4), D(- √7, 9/4)
quindi
* |AB| = |CD| = 2*√7
* |BC| = |DA| = 9/2
* perimetro 2*(2*√7 + 9/2) = 9 + 4*√7 ~= 19.58
* area (2*√7)*9/2 = 9*√7 ~= 23.81
che è proprio il risultato atteso.