[Risolto] ELLISSE

Oggi c'è una batteria di domande, tutte intitolate "ELLISSE" e tutte che chiedono centro, vertici e fuochi della curva specificata da un polinomio, privo di termine rettangolare in "x*y", di forma
* A*x^2 + B*y^2 + C*x + D*y + E = 0
con la clausola restrittiva "A e B concordi".
La mancanza del termine rettangolare vuol dire che gli assi dell'ellisse sono paralleli agli assi coordinati.
Il polinomio è specificato dal vettore (A, B, C, D, E), ma la clausola ha più interpretazioni
a) A = B = 0: caso degenere sull'equazione lineare C*x + D*y + E = 0.
b) A = B ≠ 0: caso non degenere particolare di una circonferenza, vertici e fuochi non hanno senso.
c) (A < 0) & (B < 0): si sostituisce il vettore (-A, -B, -C, -D, -E) a quello dato.
d) (A > 0) & (B > 0): caso non degenere standard sul quale applicare la seguente procedura risolutiva.
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Procedura risolutiva
1) Commutare.
* A*x^2 + B*y^2 + C*x + D*y + E = 0 ≡ A*x^2 + C*x + B*y^2 + D*y + E = 0
2) Completare i quadrati, commutare, sottrarre membro a membro il termine noto.
* A*x^2 + C*x = A*(x^2 + C*x/A) = A*(x + C/(2*A))^2 - C^2/(4*A)
* B*y^2 + D*y = B*(y^2 + D*y/B) = B*(y + D/(2*B))^2 - D^2/(4*B)
* A*x^2 + C*x + B*y^2 + D*y + E = 0 = 0 ≡
≡ A*(x + C/(2*A))^2 - C^2/(4*A) + B*(y + D/(2*B))^2 - D^2/(4*B) + E = 0 ≡
≡ A*(x + C/(2*A))^2 + B*(y + D/(2*B))^2 - C^2/(4*A) - D^2/(4*B) + E = 0 ≡
≡ A*(x + C/(2*A))^2 + B*(y + D/(2*B))^2 = (A*(D^2 - 4*B*E) + B*C^2)/(4*A*B)
3) Verificare d'aver ottenuto un'ellisse reale (secondo membro positivo).
* ((A*(D^2 - 4*B*E) + B*C^2)/(4*A*B) > 0) & (A > 0) & (B > 0) ≡
≡ E < (A*D^2 + B*C^2)/(4*A*B)
quindi se
≡ E >= (A*D^2 + B*C^2)/(4*A*B)
la procedura si conclude con l'affermazione che l'ellisse o e degenere sul centro (se E =) oppure è complessa, con semiassi immaginari (se E >). Altrimenti si prosegue (se E <).
4) Scrivere la forma normale standard dell'ellisse traslata.
Nell'equazione in forma normale standard della generica ellisse Γ non ruotata (con assi di simmetria paralleli agli assi coordinati)
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
ci sono quattro parametri: semiassi (a, b) e coordinate del centro (α, β).
Dando il nome T al termine noto
* T = (A*(D^2 - 4*B*E) + B*C^2)/(4*A*B) > 0
si ha
* α = - C/(2*A)
* β = - D/(2*B)
* a = √(T/A)
* b = √(T/B)
5) Calcolare centro, vertici e fuochi.
* centro (α, β) = (- C/(2*A), - D/(2*B))
* vertici V(- C/(2*A) ± √(T/A), - D/(2*B)) oppure V(- C/(2*A), - D/(2*B) ± √(T/B))
Per i fuochi, che cadono sull'asse maggiore, si danno due casi
5a) a = √(T/A) < b = √(T/B): c = √(T/B - T/A), F(- C/(2*A), - D/(2*B) ± √(T/B - T/A))
5b) a = √(T/A) > b = √(T/B): c = √(T/A - T/B), F(- C/(2*A) ± √(T/A - T/B), - D/(2*B))
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Nei singoli casi, rilevato il vettore (A, B, C, D, E), se si superano i casi {a, b, c} della clausola e si è nel caso d, allora
* verificare che E < (A*D^2 + B*C^2)/(4*A*B) e, se no, concludere
* eseguire i passi 4 e 5 della procedura.