[Risolto] ELLISSE

Problema
L'ellisse riferita ai suoi assi, di semiassi b > a > 0 e semidistanza focale c = √(b^2 - a^2), ha equazione
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
Nel fascio di rette
* r(k) ≡ y = k
quelle che staccano una corda lunga L su Γ hanno |k| < b e intersezioni
* (y = k) & ((x/a)^2 + (y/b)^2 = 1) & (b > a > 0) & (|k| < b) ≡
≡ (- a*√(1 - (k/b)^2), k) oppure (a*√(1 - (k/b)^2), k)
distanti
* L(k) = 2*a*√(1 - (k/b)^2)
che eguaglia c nelle soluzioni di
* (2*a*√(1 - (k/b)^2) = √(b^2 - a^2)) & (b > a > 0) & (|k| < b) ≡
≡ (k = - (b/a)*√(5*a^2 - b^2)/2) & (a > b/√5)
oppure (k = 0) & (a = b/√5)
oppure (k = (b/a)*√(5*a^2 - b^2)/2) & (a > b/√5)
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Esercizio
* b = 4
* b/√5 = 4/√5 ~= 1.8
* a = 2 != b/√5 → k = 0 si esclude
* a = 2 > b/√5 → k = ± (b/a)*√(5*a^2 - b^2)/2 si accettano, cioè
* k = ± (b/a)*√(5*a^2 - b^2)/2 = ± (4/2)*√(5*2^2 - 4^2)/2 = ± 2
che è proprio il risultato atteso.

fai il sistema tra l'ellisse e l'equazione delle rette generiche parallele all'asse x del tipo y=h, risolvendo il sistema trovi i due punti di intersezione (che avranno coordinate in funzione di h) la cui distanza deve essere imposta uguale a c. Trovando così h, basta sostituirlo al fascio y=h per trovare le rette che staccano il segmento.