Considera l'equazione $k x^2+y^2=1$. Determina per quali valori di $k$ essa rappresenta:
a. un'ellisse;
b. un'ellisse di eccentricità $\frac{1}{2}$.
Trova inoltre vertici e fuochi delle ellissi corrispondenti ai valori di $k$ trovati al punto b. $\left[\right.$ a. $\left.k>0 ; \mathbf{b} . k=\frac{3}{4} \vee k=\frac{4}{3}\right]$
2164
punti
Livello 2
Considerazione
a) Distinzione di casi
Le coniche, riferite ai propri assi, del fascio
* Γ(k) ≡ k*x^2 + y^2 = 1 ≡ (x/(1/√k))^2 + (y/1)^2 = 1 ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
sono
* per k < 0: iperboli coi fuochi sull'asse y
* per k = 0: una parabola degenere su una coppia di parallele distinte
* per (k > 0) & (1/√k < 1) ≡ k > 1: ellissi coi fuochi sull'asse y
* per (k > 0) & (1/√k = 1) ≡ k = 1: la circonferenza
* per (k > 0) & (1/√k > 1) ≡ 0 < k < 1: ellissi coi fuochi sull'asse x
b) Semi distanza focale
* per k < 0: c = √(1/k + 1)
* per 0 < k < 1: c = √(1/k - 1)
* per k > 1: c = √(1 - 1/k)
c) Eccentricità
* per k < 0: e = c/b = √(1/k + 1)
* per 0 < k < 1: e = c/a = √(1/k - 1)/(1/√k) = √(1 - k)
* per k > 1: e = c/b = √(1 - 1/k)
Risposte ai quesiti
a) k > 0
b) (k > 0) & (√(1 - k) = 1/2) oppure (k > 0) & (√(1 - 1/k) = 1/2) ≡
≡ (k = 3/4) oppure (k = 4/3)
57171
punti
Genius I
