Considera l'equazione $h x^2+(h-1) y^2=1$. Determina per quali valori di $h$ essa rappresenta un'ellisse e verifica che, per tutti questi valori di $h$, si ottengono ellissi che hanno i fuochi sull'asse $y$.
Determina inoltre per quali valori di $h$ l'equazione data rappresenta:
a. un'ellisse avente i fuochi nei punti di coordinate $\left(0, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
b. un'ellisse avente eccentricità $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$$
[h>1 ; \mathrm{a} . h=2 ; \mathrm{b} . h=3]
$$
2166
punti
Livello 2
h·x^2 + (h - 1)·y^2 = 1
{h > 0
{h - 1 > 0
Quindi: [h > 1]
-------------------
x^2/α + y^2/β = 1
β > α
Quindi sistema:
{1/(h - 1) > 1/h
{h > 1
quindi:
{h < 0 ∨ h > 1
{h > 1
Quindi i fuochi stanno sempre sull'asse delle y: [h > 1]
-------------------------
α = a^2
β = b^2
γ = β - α = c^2 = (√2/2)^2
1/(h - 1) - 1/h = 1/2
h = 2 ∨ h = -1---->h = 2
(si scarta la seconda)
-----------------------------
ε = γ/β = (β - α)/β = (√3/3)^2
(1/(h - 1) - 1/h)/(1/(h - 1)) = 1/3
1/h = 1/3----> h = 3
90141
punti
Genius II
