ELLISSE

Γ: x²/16 + y²/4=1 -> y=f(x)=√(16-x²)/4

Area rettangolo inscritto=A=8√3

Prendiamo in considerazione un solo quadrante 

L'area del rettangolo è base per altezza A=bh.

chiamiamo la base b OH dove H(k;0) e l'altezza h HP dove P(k;f(k)) 

A'=OH*PH=√((k-0)²+(0-0)²)*√((k-k)²-(f(k)-0)²)=√k² *√f(k)²=|kf(k)| -> visto che ciò è valido in un solo quadrante moltiplichiamo tutto per 4 dato che il rettangolo è simmetrico all'origine -> A=4A'=4|kf(k)|

Sappiamo che A=8√3 -> 4|kf(k)|=8√3 -> |kf(k)|=2√3 -> kf(k)=±2√3 -> k√(16-k²)=±8√3 -> k²(16-k²)=64*3 

Lascio a te i calcoli, una volta ottenuta l'equazione di quarto grado è necessario risolverla e simmetrizzare i punti trovati tramite i valori di k per ricavare gli altri vertici.

I vertici di ogni rettangolo inscritto nell'ellisse
* Γe ≡ x^2/16 + y^2/4 = 1
sono le sue intersezioni, in simmetria quadrantale, con una delle iperboli degeneri del fascio
* Γ(m) ≡ y^2 = (m*x)^2, con m != 0
quindi basta calcolarne una cioè
* (x^2/16 + y^2/4 = 1) & (y = m*x) & (m > 0) ≡ C(4/√(4*m^2 + 1), 4*m/√(4*m^2 + 1))
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L'area del rettangolo, che dev'essere 8*√3, è il quadruplo del prodotto fra i moduli delle coordinate di C
* 4*|4/√(4*m^2 + 1)|*|4*m/√(4 m^2 + 1)| = 8*√3 ≡
≡ 64*|m/(4 m^2 + 1)| = 8*√3 ≡
≡ |m/(4 m^2 + 1)| = √3/8 ≡
≡ (m/(4 m^2 + 1) = - √3/8) oppure (m/(4 m^2 + 1) = √3/8) ≡
≡ (m = - 1/(2*√3)) oppure (m = - √3/2) oppure (m = 1/(2*√3)) oppure (m = √3/2) ≡
≡ (m = 1/(2*√3)) oppure (m = √3/2)
stante il significato del parametro.
I vertici richiesti sono
* per m = 1/(2*√3): (± 2*√3, ± 8*√3/7)
* per m = √3/2: (± 2, ± √3)

Poniamo y = k

x^2/16 + k^2/4 = 1

x^2/16 = 1 - k^2/4

x^2 = 16 - 4k^2

x = +- 2 rad (4 - k^2)

con |k| <= 2

Area = 4 * 2k rad (4 - k^2) = 8 rad 3

k^2(4 - k^2) = 3

k^4 - 4 k^2 + 3 = 0

k^2 = 1

k^2 = 3

k = +-1

k = +- rad 3

De k^2 = 1

allora x^2 = 16 - 4 = 12

x = +- 2 rad 3

i vertici sono allora

(+- 2 rad(3), +- 1)

con tutte le possibili coppie di segni

oppure

y^2 = k^2 = 3

x^2 = 4 => x +- 2