[Risolto] ELLISSE

La dilatazione è una trasformazione non isometrica di equazioni

$ δ = \left\{\begin{aligned} x' &=kx \\ y' &= hy \end {aligned}\right.$

con    $\, k, h \in ℝ^+$

per cui

$ δ = \left\{\begin{aligned} x &=\frac{1}{k}x' \\ y &= \frac{1}{h}y' \end {aligned}\right.$

• L'ellisse trasformata ha equazione $\frac {x'^2}{4k^2} + \frac{y'^2}{2h^2} = 1$
• L'equazione della circonferenza è $x^2 + y^2 = 1$

per confronto avremo

$\left\{\begin{aligned} 4k^2 &=1 \\ 2h^2 &= 1 \end {aligned}\right.$

dalle quali ricaviamo

$k = \frac{1}{4}$

$h = \frac{\sqrt{2}}{2}$

La trasformazione δ sarà quindi

$ δ = \left\{\begin{aligned} x' &=\frac{x}{4} \\ y' &= \frac{y\sqrt{2}}{2} \end {aligned}\right.$

Facciamo il caso generale (altrimenti a che serve aver studiato l'algebra ?)

Partiamo da x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

x' = hx

y' = ky

x = x'/h

y = y'/k

x'^2/(h^2 a^2) + y'^2/(k^2 b^2) = 1

deve essere x^2 + y^2 = 1

h^2 a^2 = 1 => h = 1/|a|

k^2 b^2 = 1 => k = 1/|b|

Nel tuo caso |a| = 2 e |b| = rad(2)

x' = x/|a| = x/2

y' = y/|b| = y/rad(2) = y rad(2)/2