Scrivi le equazioni delle rette tangenti all'ellisse di equazione $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ passanti per il punto $P(2$, 1). Indica con $A$ e $B$ i punti di contatto di tali tangenti con l'ellisse e determina l'area del triangolo $A P B$.
$$
\left[x=2, y=5-2 x ; \lambda(2,0), 13\left(\begin{array}{ll}
8 & 9 \\
5 & 5
\end{array}\right) ; \frac{1}{5}\right]
$$
MI AIUTATE GRAZIE!
2210
punti
Livello 2
x^2/4 + y^2/9 = 1
[2, 1]
Per tale punto passa la tangente all'ellisse data Quindi una retta tangente ad essa è: x = 2
Per l'altra usiamo il metodo classico (si possono utilizzare anche le formule di sdoppiamento)
{x^2/4 + y^2/9 = 1
{y - 1 = m·(x - 2) fascio di rette proprio per P
y = m·x - 2·m + 1
x^2/4 + (m·x - 2·m + 1)^2/9 = 1
(x^2·(4·m^2 + 9) + 8·m·x·(1 - 2·m) + 16·(m^2 - m - 2))/36 = 0
x^2·(4·m^2 + 9) + 8·m·x·(1 - 2·m) + 16·(m^2 - m - 2) = 0
Δ/4 = 0 condizione di tangenza
(4·m·(1 - 2·m))^2 - (4·m^2 + 9)·16·(m^2 - m - 2) = 0
(64·m^4 - 64·m^3 + 16·m^2) - (64·m^4 - 64·m^3 + 16·m^2 - 144·m - 288) = 0
m = -2
y = (-2)·x - 2·(-2) + 1-----> y = 5 - 2·x altra retta tangente oltre a x=2
Punto di tangenza:
x^2·(4·(-2)^2 + 9) + 8·(-2)·x·(1 - 2·(-2)) + 16·((-2)^2 - -2 - 2) = 0
25·x^2 - 80·x + 64 = 0
(5·x - 8)^2 = 0----> x = 8/5
y = 5 - 2·(8/5)----> y = 9/5
[8/5, 9/5]
[2, 0]
[2, 1]
[8/5, 9/5]
Α = 1/2·ABS(8/5·0 + 2·1 + 2·9/5 - (8/5·1 + 2·0 + 2·9/5))
Α = 1/5
90155
punti
Genius II
Y-yp=m(x-xp) dove xp e yo sono le coordinate del punto che hai
Metti a sistema con l' ellisse e risolvi tutto per m
Una volta che hai trovato m lo sostituisci alla retta che hai trovato all' inizio
Dopo aver trovato questa retta la metti di nuovo a sistema con l' ellisse e i due punti che ottieni saranno A e B
Per trovare le misure del triangolo basta fare la distanza tra punti
459
punti
Livello 1
@emanuele_notazio Grazie!
