Stabilisci la posizione reciproca tra l'ellisse $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{9}=1$ e le rette di equazioni $r: y=5$ e $\mathrm{s}: x-2 y+6=0$ e, nel caso non siano esterne, determina i loro punti di intersezione.
Salve, non so proprio come si risolve questa ellisse.
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Livello 0
Devi considerare 2 sistemi:
{ ellisse
{ 1^ retta
poi
{ ellisse
{2^ retta
per ognuno di essi, per sostituzione, ti riporti ad una equazione di secondo grado. Vai a vedere i valori del discriminante e poi puoi dire subito se:
a) la retta è secante
b) la retta è tangente
c) la retta è esterna
provaci tu a rispondere! Ci sei riuscita?
{x^2/12 + y^2/9 = 1
{y = 5 per sostituzione------->x^2/12 + 5^2/9 = 1 (*36)
3·x^2 + 100 = 36----> 3·x^2 + 64 = 0
Δ = - 4·3·64= -768 <0 retta esterna!
----------------------------------
{x^2/12 + y^2/9 = 1
{x - 2·y + 6 = 0 per sostituzione: x = 2·y - 6
(2·y - 6)^2/12 + y^2/9 = 1 (*36)
con vari passaggi arrivi a scrivere: 2·y^2 - 9·y + 9 = 0 questa ha:
Δ = (-9)^2 - 8·9 ------> Δ = 9 >0 retta secante nei punti A e B:
y = 3/2 ∨ y = 3 quindi : x = 2·(3/2) - 6=-3 punto (-3,3/2)
x = 2·3 - 6 = 0 punto (0,3)
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Genius II
SI RISOLVE INVERTENDO L'ORDINE DELLE CONSEGNE DATO NEL TESTO.
Si scrive il sistema dei punti comuni fra retta e conica.
Sostituendo nella conica una variabile esplicitata dalla retta si costruisce l'equazione risolvente del sistema.
Si calcola il discriminante Δ della risolvente.
Si distinguono tre casi:
* se Δ < 0 allora retta e conica sono esterne fra loro;
* se Δ = 0 allora retta e conica sono tangenti;
* se Δ > 0 allora retta e conica sono secanti;
nei due casi di discriminante non negativo si prosegue il calcolo fino a determinare i punti comuni: uno doppio se Δ = 0 o due semplici distinti se Δ > 0.
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Genius I
