Ellisse

{x + y - 3 = 0

{x = 1

quindi: [x = 1 ∧ y = 2]---> [1, 2]

è il punto di tangenza dell'ellisse alla retta data.

L'iperbole : x^2/α + y^2/β = 1 passa per tale punto

1^2/α + 2^2/β = 1---> 1/α + 4/β = 1

β = 4·α/(α - 1)

x^2/α + y^2/(4·α/(α - 1)) = 1

quindi l'ellisse è funzione di un solo parametro: 

x^2/α + y^2·(α - 1)/(4·α) = 1

Adopero le formule di sdoppiamento in [1, 2]:

1·x/α + 2·y·(α - 1)/(4·α) = 1

1·x/α + 2·y·(α - 1)/(4·α) - 1 = 0

x/α + y·(α - 1)/(2·α) - 1 = 0

2·x + y·(α - 1) - 2·α = 0

x + y·(α - 1)/2 - α = 0

per confronto con la retta tangente: α = 3 Infatti:

x + y·(3 - 1)/2 - 3 = 0---> x + y - 3 =0

β = 4·3/(3 - 1)---> β = 6

quindi l'ellisse: x^2/3 + y^2/6 = 1

xT + yT - 3 = 0

yT = 3-xT = 3-1 = 2

1/a^2 + 4/b^2 = 1

La condizione di tangenza si può scrivere

-b^2/a^2 xT/yT = -1

b^2/a^2 1/2 = 1

b^2 = 2a^2

Sostituendo

1/a^2 + 4/2a^2 = 1

3/a^2 = 1

a^2 = 3

b^2 = 2*3 = 6

x^2/3 + y^2/6 = 1