[Risolto] Ellisse

• Retta bisettrice del 1°-3° quadrante ha equazione y = x
• Rette parallele alla bisettrice del 1°-3° quadrante y = x + q
• Le rette y = x + q tangenti all'ellisse sono quelle che intersecano l'ellisse in un solo punto. Questo significa discriminante Δ nullo. Determiniamo i punti di intersezione rette/ellisse risolvendo il sistema
  • • • $ y = x + q $
      • $2x^2 + y^2 = 1 $

Sostituendo la prima nella seconda si ottiene un'equazione di 2° grado nella variabile x.

Determiniamo il suo discriminante Δ = 3-2q².

Imponiamo la tangenza annullando il discriminante

$ 3-q^2 = 0 $

$ q = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Le due rette tangenti hanno quindi equazione 

1. $y = x - sqrt{\frac{3}{2}} \; ⇒ \; x = \frac{1}{\sqrt{6}} \; \land \; y = -\sqrt{\frac{2}{3}} $
2. $y = x + sqrt{\frac{3}{2}} \; ⇒ \; x = -\frac{1}{\sqrt{6}} \; \land \; y = \sqrt{\frac{2}{3}} $

I punti di tangenza hanno coordinate

$ T_1(\frac{1}{\sqrt{6}}, -\sqrt{\frac{2}{3}}) $

$ T_2(-\frac{1}{\sqrt{6}}, \sqrt{\frac{2}{3}}) $