Ellisse

La presentazione lascia un po' a desiderare.
Ellisse, come ogni nome di conica, è femminile: "un ellisse" → "un'ellisse".
"l asse maggiore il triplo di" → "l'asse maggiore è il triplo di".
"ellisse riferita al centro" quale di queste
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E2%2F4%3D1-y%5E2%2F25%2C4*x%5E2%3D100-25*y%5E2%2C79*x%5E2-400%3D%2842*%E2%88%9A3%29*x*y-37*y%5E2%2C29*x%5E2-200%3D-29*y%5E2-42*x*y%5D
tutt'e quattro riferite al centro?
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Esercizio
Si chiede l'equazione di un'ellisse riferita ai propri assi, con l'asse maggiore triplo del minore e tale che la retta x = - 3 stacchi un lato del rettangolo inscritto, di perimetro 30.
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Risoluzione
Ogni ellisse Γ riferita ai propri assi ha equazione
* Γ(a, b) ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
Fra queste quelle con l'asse maggiore triplo del minore sono di due possibili tipi
* Γ(a) ≡ (x/a)^2 + (y/(3*a))^2 = 1
* Γ(b) ≡ (x/(3*b))^2 + (y/b)^2 = 1
a cui, affinché la retta x = - 3 stacchi una corda, si aggiunge una condizione restrittiva.
Tipo 1
* ((x/a)^2 + (y/(3*a))^2 = 1) & (a > 3)
Gli estremi della corda-lato-altezza sono le soluzioni di
* (x = - 3) & ((x/a)^2 + (y/(3*a))^2 = 1) & (a > 3) ≡
≡ A(- 3, - 3*√(a^2 - 9)) oppure D(- 3, 3*√(a^2 - 9))
quindi l'altezza è
* h = 6*√(a^2 - 9)
Gli estremi della corda-lato-base sono
* A(- 3, - 3*√(a^2 - 9)) oppure B(3, - 3*√(a^2 - 9))
quindi la base è
* b = 6
da cui
* p = 2*(b + h) = 2*(6 + 6*√(a^2 - 9))
* (2*(6 + 6*√(a^2 - 9)) = 30) & (a > 3) ≡ a = 3*√5/2
* Γ(3*√5/2) ≡ (x/(3*√5/2))^2 + (y/(3*3*√5/2))^2 = 1 ≡
≡ 36*x^2 + 4*y^2 - 405 = 0
Tipo 2
* ((x/(3*b))^2 + (y/b)^2 = 1) & (3*b > 3)
Gli estremi della corda-lato-altezza sono le soluzioni di
* (x = - 3) & ((x/(3*b))^2 + (y/b)^2 = 1) & (3*b > 3) ≡
≡ A(- 3, - √(b^2 - 1)) oppure D(- 3, √(b^2 - 1))
quindi l'altezza è
* h = 2*√(b^2 - 1)
e la base è
* b = 6
da cui
* p = 2*(b + h) = 2*(6 + 2*√(b^2 - 1))
* (2*(6 + 2*√(b^2 - 1)) = 30) & (b > 1) ≡ b = √85/2
* Γ(√85/2) ≡ (x/(3*√85/2))^2 + (y/(√85/2))^2 = 1 ≡
≡ 4*x^2 + 36*y^2 - 765 = 0
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%3D-3%2C%2836*x%5E2--4*y%5E2-405%29*%284*x%5E2--36*y%5E2-765%29%3D0%5D

A me viene così. E spero che non ci siano errori.

L'equazione é x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

Se un lato, BC, é sulla retta x = -3, e quello opposto sulla retta x = 3,

per simmetria il lato perpendicolare ad esso

misura 3 - (-3) = 6 e l'altro é la metà di 30 - 2*6 = 18 e quindi  9.

Se il lato verticale BC é il maggiore allora b > a per cui b = 3a e risulta

x^2/a^2 + y^2/(9 a^2) = 1

Sempre per simmetria yC = 9/2 per cui C = (3, 9/2) é un punto dell'ellisse

9/a^2 + 81/4 a^2 * 1/(9a^2) = 1

9/a^2 + 9/(4a^2) = 1

45/(4a^2) = 1

1/a^2 = 4/45

4/45 x^2 + 4/(45*9) y^2 = 1

36 x^2 + 4 y^2 = 405

Riscontro grafico con Desmos

https://www.desmos.com/calculator/zufcqrrar4