[Risolto] ELLISSE

La retta tangente
* r ≡ x + 2*y - 5 = 0 ≡ y = (5 - x)/2 ≡ x = 5 - 2*y
nel suo punto P di ascissa 3 ha ordinata 1, quindi P(3, 1).
La r dista dall'origine O(0, 0)
* |Or| = √5
quindi
* γ ≡ x^2 + y^2 = 5
che è proprio il risultato atteso.
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Ogni ellisse centrata in C(2, 0) e con i fuochi sull'asse x ha la forma
* Γ(a, b) ≡ ((x - 1)/a)^2 + (y/b)^2 = 1, con a > b > 0
L'appartenenza di P(3, 1) comporta
* (((3 - 1)/a)^2 + (1/b)^2 = 1) & (a > b > 0) ≡
≡ (a = 2*b/√(b^2 - 1)) & (1 < b < √5)
* Γ(b) ≡ ((x - 1)/(2*b/√(b^2 - 1)))^2 + (y/b)^2 = 1 ≡
≡ (b^2 - 1)*x^2 + 4*y^2 - 2*(b^2 - 1)*x - (3*b^2 + 1) = 0, con 1 < b < √5
La tangenza di y = (5 - x)/2 comporta che la risolvente
* (b^2 - 1)*x^2 + 4*((5 - x)/2)^2 - 2*(b^2 - 1)*x - (3*b^2 + 1) = 0 ≡
≡ x^2 - 2*(1 + 4/b^2)*x - 3*(1 - 8/b^2) = 0
abbia discriminante nullo
* (Δ(b) = (16/b^4)*(b^2 - 2)^2 = 0) & (1 < b < √5) ≡ b = √2
da cui
* a = 2*√2/√(2 - 1) = √8
e infine
* Γ(√2) ≡ δ ≡ ((x - 1)/√8)^2 + (y/√2)^2 = 1
che NON è proprio il risultato atteso, ma così mi viene.
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Il sistema
* γ & δ ≡ (x^2 + y^2 = 5) & (((x - 1)/√8)^2 + (y/√2)^2 = 1) ≡
≡ A((2*√10 - 1)/3, - 2*√(1 + √10)/3) oppure B((2*√10 - 1)/3, 2*√(1 + √10)/3)
ha le intersezioni distanti
* |AB| = 4*√(1 + √10)/3 ~= 2.720221448556759
che NON è proprio il risultato atteso, NEMMENO QUESTO.
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%3D5-2*y%2Cx%5E2%3D5-y%5E2%2Cx%5E2-2*x-7--4*y%5E2%3D0%2Cx%3D%282*%E2%88%9A10-1%29%2F3%5Dx%3D-3to4%2Cy%3D-3to3