ELLISSE

Question

Data l'ellisse di equazione x^2+ frac {y^2}{4}=1$ e la retta di equazione y=-x+1$ :a. trova le coordinate dei due punti di intersezione A e B(x_A<x_A)$ tra l'ellisse e la rella;b. scrivi le equazioni delle rette tangenti all'ellisse in A e B;c. determina l'area del triangolo A B C, essendo C il punto di intersezione delle tangenti in A e B all'ellisse.  left [ text { a. } A(- frac {3}{5},  frac {8}{5}), B(1,0) ;  text { b. } 3 x-2 y=-5, x=1  text {; c. } C(1,4),  text { Area }= frac {16}{5} right ]  [attach]85349[/attach]

LucianoP · Accepted Answer

[attach]85350[/attach] {x^2 + y^2/4 = 1 {y = -x + 1 per sostituzione: x^2 + (-x + 1)^2/4 = 1 x^2 + (x^2/4 - x/2 + 1/4) - 1 = 0 5·x^2/4 - x/2 - 3/4 = 0 (5·x^2 - 2·x - 3)/4 = 0 5·x^2 - 2·x - 3 = 0 risolvo: x = - 3/5 ∨ x = 1 x = 1 è la retta tangente nel vertice B(1,0) x = - 3/5---> y= 3/5 + 1 = 8/5 [- 3/5, 8/5] è A Formule di sdoppiamento: - 3/5·x + 8/5·y/4 = 1 2·y/5 - 3·x/5 = 1 Quindi a sistema: {y = 3·x/2 + 5/2 {x = 1 Risolto ho il punto C: [x = 1 ∧ y = 4] Area triangolo ABC b = 4 h = 1 + 3/5 =8/5 Α = 1/2·4·(8/5) = 16/5

exProf · Answer

La conica Γ del piano Oxy* Γ ≡ x^2 + y^2/4 = 1 ≡ 4*x^2 + y^2 - 4 = 0induce, fra i punti e le rette del suo piano, una corrispondenza biunivoca detta polarità per la quale a ciascun punto del piano (polo) corrisponde una e una sola retta detta la sua polare; e, viceversa, a ciascuna retta corrisponde il suo unico polo.---------------La retta polare p del polo P(u, v) rispetto a Γ si scrive sdoppiando rispetto a P la forma normale canonica di Γ* p ≡ 4*u*x + v*y - 4 = 0---------------Il sistema* (y = 1 - x) & (x^2 + y^2/4 = 1) ≡≡ A(- 3/5, 8/5) oppure B(1, 0)risolve il quesito "a" mentre, per il quesito "b", basta fare le polari di A e di B* pA ≡ 4*(- 3/5)*x + (8/5)*y - 4 = 0 ≡ y = (3*x + 5)/2* pB ≡ 4*1*x + 0*y - 4 = 0 ≡ x = 1che s'intersecano in C(1, 4)Quesito "c": l'area S di ABC è il semiprodotto fra la base b = |BC| = 4 e l'altezza h = |1 - xA| = 8/5* S = b*h/2 = 4*(8/5)/2 = 16/5

[Risolto] ELLISSE

Domande