[Risolto] ELLISSE

Un'ellisse non degenere si verifica quando l'equazione quadratica rappresenta una curva chiusa con semiasse finiti e positivi.
Consideriamo l'equazione nella forma standard di una conica:

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Nel nostro caso, abbiamo:

x² + 5y² - 2y + k = 0

• A=1
• B=0
• C=5
• D=0
• E=−2
• F=k

Le condizioni per avere un'ellisse non degenere sono:

1. A⋅C > 0
2. Il discriminante della conica Δ = B² − 4AC < 0

Nel nostro caso:

1. A⋅C=1⋅5=5  che soddisfa la prima condizione.
2. Il discriminante Δ = B² − 4AC = 0² − 4⋅1⋅5 = -20 < 0, che soddisfa anche la seconda condizione.

Quindi, le condizioni generali per avere un'ellisse sono soddisfatte per ogni valore di k. Tuttavia, per garantire che l'ellisse non si degeneri in un punto o non abbia soluzione reale, dobbiamo controllare che l'equazione abbia soluzioni reali. Per fare questo, dobbiamo assicurarci che il discriminante dell'equazione quadratica in $y$ sia non negativo.

5y² - 2y + (x² + k) = 0

Per questa equazione quadratica in $y$, il discriminante è:

Δy = B² − 4AC = (−2)² − 4⋅5⋅(k+x²)

Δy = 4 - 20(k+x²)

Per avere soluzioni reali, deve essere: Δy > 0

4 - 20(k+x²) > 0

1 - 5(k+x²) > 0

1/5  > k+x²

k < 1/5 - x²

Dato che x² ≥0 per ogni x, dobbiamo avere:  k+x² < 1/5

Il valore massimo di k si ottiene quando  x² = 0, quindi k < 1/5