Determina per quali valori di $k$ l'equazione $x^2+5 y^2-2 y+k=0$ rappresenta un'ellisse non degenere. $\quad\left[k<\frac{1}{5}\right]$
Determina per quali valori di $k$ l'equazione $x^2+5 y^2-2 y+k=0$ rappresenta un'ellisse non degenere. $\quad\left[k<\frac{1}{5}\right]$
Un'ellisse non degenere si verifica quando l'equazione quadratica rappresenta una curva chiusa con semiasse finiti e positivi.
Consideriamo l'equazione nella forma standard di una conica:
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
Nel nostro caso, abbiamo:
x² + 5y² - 2y + k = 0
Le condizioni per avere un'ellisse non degenere sono:
Nel nostro caso:
Quindi, le condizioni generali per avere un'ellisse sono soddisfatte per ogni valore di k. Tuttavia, per garantire che l'ellisse non si degeneri in un punto o non abbia soluzione reale, dobbiamo controllare che l'equazione abbia soluzioni reali. Per fare questo, dobbiamo assicurarci che il discriminante dell'equazione quadratica in y sia non negativo.
5y² - 2y + (x² + k) = 0
Per questa equazione quadratica in y, il discriminante è:
Δy = B² − 4AC = (−2)² − 4⋅5⋅(k+x²)
Δy = 4 - 20(k+x²)
Per avere soluzioni reali, deve essere: Δy > 0
4 - 20(k+x²) > 0
1 - 5(k+x²) > 0
1/5 > k+x²
k < 1/5 - x²
Dato che x² ≥0 per ogni x, dobbiamo avere: k+x² < 1/5
Il valore massimo di k si ottiene quando x² = 0, quindi k < 1/5