ELLISSE

2·x^2 + y^2 - 2·x - 5·y - k = 0

Scriviamo in forma canonica l'equazione dell'ellisse traslata usando il metodo del completamento dei quadrati.

2·(x^2 - x) + 1·(y^2 - 5·y) - k = 0

2·(x^2 - x + 1/4) - 1/2 + 1·(y^2 - 5·y + 25/4) - 25/4 - k = 0

(2·x - 1)^2/2 + (2·y - 5)^2/4 = k + 25/4 + 1/2

affinché sia un'ellisse non degenere il 2° membro deve essere strettamente positivo:

k + 25/4 + 1/2 > 0

k + 27/4 > 0----> k > - 27/4

La generica ellisse Γ non degenere e non ruotata (con assi di simmetria paralleli agli assi coordinati ed equazione priva del termine in "x*y") ha la forma normale standard
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
dove i quattro parametri sono: semiassi (a, b) positivi e coordinate del centro C(α, β).
Nel ridurre a tale forma l'equazione del fascio si individua la condizione richiesta.
* 2*x^2 + y^2 - 2*x - 5*y - k = 0 ≡
≡ 2*x^2 - 2*x + y^2 - 5*y - k = 0 ≡
≡ 2*(x^2 - x) + (y^2 - 5*y) - k = 0 ≡
≡ 2*((x - 1/2)^2 - (1/2)^2) + ((y - 5/2)^2 - (5/2)^2) - k = 0 ≡
≡ 2*(x - 1/2)^2 - 1/2 + (y - 5/2)^2 - 25/4 - k = 0 ≡
≡ 2*(x - 1/2)^2 + (y - 5/2)^2 - 1/2 - 25/4 - k = 0 ≡
≡ 2*(x - 1/2)^2 + (y - 5/2)^2 = (4*k + 27)/4 ≡
≡ (x - 1/2)^2/((4*k + 27)/8) + (y - 5/2)^2/((4*k + 27)/4) = 1
La condizione richiesta è che i due denominatori a primo membro, dovendo rappresentare i quadrati di semiassi positivi, siano positivi
* ((4*k + 27)/8 > 0) & ((4*k + 27)/4 > 0) ≡
≡ 4*k + 27 > 0 ≡ k > - 27/4
che è proprio il risultato atteso.