[Risolto] ELLISSE

Problema:

Considera il rettangolo ABCD di vertici A(0;0), B(4;0), C(4;2), D(0;2). Determina:

(i) l'equazione della circonferenza circoscritta ad ABCD;

(ii) l'equazione dell'ellisse, con gli assi paralleli agli assi cartesiani, inscritta nel rettangolo ABCD; 

(iii) la retta r tangente alla circonferenza in D;

(iiii) l'equazione della parabola, con asse parallelo all'asse x, tangente in D alla retta r e passante per A.

Soluzione:

(i) L'equazione della circonferenza circoscritta al rettangolo ABCD presenta necessariamente, per costruzione, il proprio centro coincidente con l'intersezione delle diagonali del rettangolo.

Il punto di intersezione delle diagonali può essere ricavato semplicemente dividendo a metà il segmento AB per ottenere l'ascissa ed il segmento BC per l'ordinata.

$\frac{\overline{AB}}{2}=\frac{\sqrt{(4-0)^{2}+(0-0)^2}}{2}=2\\frac{\overline{BC}}{2}=\frac{\sqrt{(4-4)^{2}+(2-0)^2}}{2}=1$

Da qui si ottiene che il centro della circonferenza circoscritta al rettangolo ABCD indicato con $C_{π} è C_{π}(2;1)$.

L'equazione della circonferenza traslata è $π:(x-x_{C_{π}})^2+(y-y_{C_{π}})^2=r^2$ , nel nostro caso per ottenere il raggio è necessario calcolare la metà di una diagonale del rettangolo ABCD dato che la circonferenza lo circoscrive. 

$r=\frac{\overline{AC}}{2}=\frac{\sqrt{(0-4)^2+(0-2)^2}}{2}=\frac{\sqrt{20}}{2}\:\to r^2=(\frac{\sqrt{20}}{2})^2=\frac{20}{4}=5$

Dunque la circonferenza π avrà equazione $π: (x-2)^2+(y-1)^2=5$ .

(ii) Per costruzione l'ellissi inscritta al rettangolo ABCD deve essere tangente internamente ad ognuno dei quattro lati del rettangolo nel loro punto medio. Ciò implica che gli assi debbono essere i segmenti che collegano i punti medi di due lati paralleli del suddetto rettangolo.

L'equazione dell'ellissi traslata è $Γ:\frac{(x-x_{C_{π}})^2}{a^2}+\frac{(y-y_{C_{π}})^2}{b^2}=1$ , dove a e b rappresentano rispettivamente, nel nostro caso, il semiasse parallelo all'asse delle ascisse ed il semiasse parallelo all'asse delle ordinate. Per ciò detto in precedenza si ottiene che $a=\frac{\overline{AB}}{2}=2\b=\frac{\overline{BC}}{2}=1$ .

Sostituendo nella formula Γ si ottiene: $Γ: \frac{(x-2)^2}{2^2}+\frac{(y-1)^2}{1^2}=1$ .

(iii) La retta passante per un punto ha equazione $r: y-y_0=m(x-x_0)$, nel nostro caso il punto è definito come D(0;2) mentre m, il coefficiente angolare della retta, per dare la condizione di tangenza alla retta r deve essere posto uguale alla derivata considerata nel punto D della funzione della semicirconferenza oppure, se non ha ancora affrontato le derivate, deve essere ricavato dal discriminante Δ posto uguale a 0. 

Svolgendo il seguente sistema

\begin{equation}
\begin{cases}
π: (x-2)^2+(y-1)^2=5\\
r: y-2=m(x-0) \end{cases}
\end{equation}

si giunge all'equazione $x^2(1+m^2)+x(2m-4)=0$ ponendo il Δ=0 si ottiene l'equazione $(2m-4)^2=0$ dalla quale si ricava m=2. Sostituendo si ottiene che la retta r è rappresentata da 

r: y=2x+2 .

(iiii) La parabola con asse parallelo all'asse x è del tipo $γ: x=ay^2+by+c$. Per costruzione  se la parabola passa per D deve necessariamente passare per A per simmetria mentre per la condizione di tangenza con la retta r è necessario porre il Δ, ricavato mettendo a sistema la parabola e la retta, uguale a 0. Si ottiene il seguente sistema

\begin{equation}
\begin{cases}
D\in γ: 0=4a+2b+c\\
A\in γ: 0=c\\
Δ=(1-2b)^2-4(-2a)(-2c-2)=0 \end{cases}
\end{equation}

che ha come soluzione $(a;b;c)=(\frac{1}{4};-\frac{1}{2};0)$. Per sostituzione si ricava l'equazione $γ: x=\frac{1}{4}y^2-\frac{1}{2}y$

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.