ELLISSE

Question

Considera l'ellisse di equazione $3 x^2+y^2=4$. Indica con $A$ e $B\left(x_A<x_B\right)$, rispettivamente, i punti di intersezione dell'ellisse con la retta di equazione $y=3 x-2$. Scrivi le equazioni delle rette tangenti all'ellisse in $A$ e $B$ e indica con $C$ il loro punto di intersezione. Determina l'area del triangolo $A B C$ e l'equazione della circonferenza circoscritta ad $A B C$. $\left[A(0,-2), B(1,1) ;\right.$ tangenti: $3 x+y-4=0 ; y=-2, C(2,-2) ;$ Area $\left.=3 ; 3 x^2+3 y^2-6 x+4 y-4=0\right]$

Autore

Risposta

ALBY

(@alby)

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livello:

Livello 2

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20/07/2024 10:32

LucianoP · Accepted Answer

{3·x^2 + y^2 = 4

{y = 3·x - 2

per sostituzione:

3·x^2 + (3·x - 2)^2 = 4

12·x^2 - 12·x = 0

12·x·(x - 1) = 0

x = 1 ∨ x = 0

y = 3·0 - 2--> y = -2

[0, -2] punto A

y = 3·1 - 2--->y = 1

[1, 1] punto B

Tangenti in A ed in B

y = -2 perché A è un vertice dell'ellisse

Sdoppiamento:

3·x·1 + y·1 = 4----> y = 4 - 3·x

Punto C:

{y = -2

{y = 4 - 3·x

Risolvo ed ottengo: [x = 2 ∧ y = -2]

[2, -2] punto C

Area ABC:

Α = 1/2·AC·ΒH

Α = 1/2·2·3--> Α = 3

Circonferenza circoscritta

x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

0^2 + (-2)^2 + a·0 + b·(-2) + c = 0---> 2·b - c = 4

1^2 + 1^2 + a·1 + b·1 + c = 0---> a + b + c = -2

2^2 + (-2)^2 + a·2 + b·(-2) + c = 0---> 2·a - 2·b + c = -8

Risolvo: [a = -2 ∧ b = 4/3 ∧ c = - 4/3]

x^2 + y^2 + (-2)·x + 4/3·y + (- 4/3) = 0

3·x^2 + 3·y^2 - 6·x + 4·y - 4 = 0

LucianoP

(@lucianop)

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livello:

Genius II

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20/07/2024 17:40

[Risolto] ELLISSE

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