Rappresenta graficamente l'ellisse di equazione 4x^2+y^2-16x-2y+13=0 individuandone in particolare il centro, i vertici e i fuochi. Scrivi quindi le equazioni di una dilatazione che trasforma l'ellisse data nella circonferenza avente centro nell'origine e raggio 1.
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Livello 2
4·x^2 + y^2 - 16·x - 2·y + 13 = 0
Riscrivo l'equazione alla forma canonica
(4·x^2 - 16·x + 16) + (y^2 - 2·y + 1) = +16 + 1 - 13
4·(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4
(x - 2)^2 + (y - 1)^2/4 = 1
Riconosco il centro dell'ellisse: [2, 1]
α = 1 e β = 4 quindi: β > α
I fuochi sono sulla retta verticale x=2
Hanno coordinate: γ = c^2 = β - α
c^2 = 3
[2, 1 + √3]
[2, 1 - √3]
I vertici sono:
[2 - 1, 1]---> [1, 1]
[2 + 1, 1]---> [3, 1]
[2,3] e [2,-1]
Le equazioni della trasformazione sono:
{Χ = x - 2 (non c'è dilatazione nella direzione orizzontale)
{Υ = (y - 1)/2 (si devono ridurre le misure di 1/2 nella direzione verticale)
In pratica si fanno le sostituzioni:
x---> x = Χ + 2
y---> y = 2·Υ + 1
Verifica:
4·(x + 2)^2 + (2·y + 1)^2 - 16·(x + 2) - 2·(2·y + 1) + 13 = 0
4·x^2 + 4·y^2 - 4 = 0-----> x^2+y^2=1
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Genius II
