ELLISSE

Question

Scrivi l'equazione dell'ellisse avente i fuochi sull'asse $x$, passante per il punto $P(2,1)$, sapendo che in tale punto la tangente all'ellisse è parallela alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante. Detto $A$ il punto di intersezione dellélisse con il semiasse positivo delle $y$, determina i vertici del triangolo equilatero $A B C$, inscritto nellellisse.

$$
\left[\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1 ; A(0, \sqrt{3}), B\left(-\frac{12}{7},-\frac{5 \sqrt{3}}{7}\right), C\left(\frac{12}{7},-\frac{5 \sqrt{3}}{7}\right)\right]
$$

Autore

Risposta

ALBY

(@alby)

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livello:

Livello 2

1823 Risposte
1327 1 494

20/07/2024 10:06

LucianoP · Accepted Answer

x^2/α + y^2/β = 1

passa per [2, 1]

2^2/α + 1^2/β = 1

4/α + 1/β = 1---->β = α/(α - 4)

x^2/α + y^2/(α/(α - 4)) = 1

x^2/α + y^2·(α - 4)/α = 1

Formule di sdoppiamento in [2, 1]:

2·x/α + 1·y·(α - 4)/α = 1

y = 2·x/(4 - α) + α/(α - 4)

Se deve essere tale retta parallela alla bisettrice del 2° e 4° quadrante il coefficiente angolare di tale retta è m = -1

Quindi: 2/(4 - α) = -1---> α = 6

β = 6/(6 - 4)---> β = 3

Quindi determino A:

{x^2/6 + y^2/3 = 1

{x = 0

risolvo: [x = 0 ∧ y = √3, x = 0 ∧ y = - √3]

[0, √3] è il punto A

determino retta per A con m = TAN(60°) = √3

Quindi metto a sistema:

{y = √3·x + √3

{x^2/6 + y^2/3 = 1

ed ottengo: [x = 0 ∧ y = √3 ; x = - 12/7 ∧ y = - 5·√3/7]

Quindi:

[- 12/7, - 5·√3/7] punto B

simmetricamente rispetto asse x=0 (asse y)

[ 12/7, - 5·√3/7] punto C

LucianoP

(@lucianop)

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livello:

Genius II

15862 Risposte
5 5051 3246

22/07/2024 08:52

Vj · Answer

[attach]84992[/attach]  L’ultima parte non sono riuscita a risolverla

[Risolto] ELLISSE

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