[Risolto] elisse con eccentricità

Anche qui l'ortografia è un po' a PdL (Pene di Levriere), ma va meglio: ci sono solo "elisse" ed "e = (2√13/13". Il terzo lo scriverai correttamente?
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L'ellisse con centro di simmetria nell'origine e un fuoco sull'asse x ha equazione
* (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1, con a > b > 0
Interpretando "fuoco nel punto F(4; 0)" come
* c = √(a^2 - b^2) = 4
ed "e = (2√13/13" come
* e = c/a = 4/a = 2/√13
si ha
* a = 2*√13
* c = √((2*√13)^2 - b^2) = 4 ≡ b = 6
da cui
* (x/(2*√13))^2 + (y/6)^2 = 1

Problema:

Scrivi l'equazione dell'ellisse con centro di simmetria nell'origine che ha un fuoco nel punto F(4; 0) ed eccentricità $e =\frac{2 \sqrt{13}}{13}$, rappresentala nel piano cartesiano.

Soluzione:

Dato che l'ellisse presenta il fuoco sull'asse delle ascisse è necessario considerare l'equazione $Γ: \frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1$.

I fuochi sono descritti dal punto $F( \pm c;0)$, nel caso in questione essendo $c$ positivo si ha che $c=4$.

L'eccentricità è definita dalla formula $e=\frac{c}{a}$, sostituendo si ottiene $a=\frac{4}{\frac{2\sqrt{13}}{13}}=2\sqrt{13}$.

Dato che il valore $c$ è definito dalla formula $a²=b²+c²$ si ha che $b²=a²-c²=36$.

Sotituendo si giunge all'equazione richiesta

$Γ: \frac{x²}{(2\sqrt{13})²}+\frac{y²}{6²}=1$.

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.

Determinazione dei parametri dell'ellisse

L'ellisse con centro nell'origine ha un'equazione generale della forma:

Dove:

• $a$ è il semiasse maggiore.
• $b$ è il semiasse minore.
• $c$ è la distanza dal centro al fuoco

Dato che un fuoco è F(4,0) , abbiamo che  c = 4

L'eccentricità è data da:

nel nostro caso e = 2√13/13

Sostituendo i valori di e e di c

2√13/13 = 4/a

Risolvendo per a:

a = 2√13

Ora, troviamo b utilizzando la relazione tra i semiassi in un'ellisse:

c² = a² - b²

4² = (2√13)² - b²

b² = 52 - 16 = 36

b = √36 = 6

Equazione dell'ellisse:

x²/(2√13)² + y²/6² = 1

x²/52 + y²/36 = 1

Grafico: