elettrotecnica aiuto

l'induttanza L ha resistenza zero, ai suoi capi ha tensione zero  e pertanto cortocircuita tanto la resistenza R2 quanto la capacità C , essendo, peraltro, attraversata dalla corrente I = E/R1 = 3,0 A ed avendo immagazzinata energia El = L/2*I^2 = 5*9 = 45 mjoule .

All'apertura dell'interruttore , la corrente, che non ama faticare (come direbbero a Napoli), disdegna la resistenza R2 e si scambia mutuamente energia con la capacità C ... in secula seculorum 😉

@mariobassi 

se per t < 0 il sistema è a regime permanente (circuito in regime stazionario ... qui continuo} la vc(0) = vc(0-) = vc(0+) vale zero per il corto dovuto a L e la iL(0) =iL(0-) =iL(0+) = E / R1 = 15 / 5 = 3 A  (che è un massimo). poi per t>= 0 l'interr. si apre e resta solo il parallelo di R2 -L-C e tensione su di esso pari a vc(t) che parte da zero (energia immagazz. in C nulla) mentre quella in L vale :

L*iL(0)²/2 = 10*10^-3 * 3²/2 = 0.045 J

che verrà scambiata con C e con R2 {bisogna verificare dai valori di R2 L e C ... che possiamo fare ... se il modo è pseudoperiodico o meno ---> oscillatorio smorzato soluz coniug. o aperiodico con soluz reali } ma che per t --> oo si dissiperà tutta in R2 ---> risposta b)

a) esempio da qui ... https://it.wikipedia.org/wiki/Circuito_RLC

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oppure , nel nostro caso , con rif.alla fig.di wiki  {ic = dqc/dt}:

per t>=0 s

iR + iL + ic = 0 --> d/dt ---> diR/dt + diL/dt + dic/dt= 0  --->  1/R*dvc/dt +vc/L + d²qc/dt²= 0 --->  d²qc/dt² + 1/(R*C)*dqc/dt qc/(L*C) = 0 

dove vc = qc/C {= v(t) di wiki}  

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alfa = 1/(2*R2*C) = 1/(2*40*2*10^-3) = 6.25 (1/s)

wo = 1/sqrt(L*C) = 1/sqrt(10*10^-3*(2*10^-3)) = 1/sqrt(20*10^-6) = 100 sqrt(5) =~ 223.61 (1/s) > alfa quindi il delta dell'equaz di 2° grado è neg.----> soluz coniugate  ---> pseudoperiodico o smorzamento debole

s^2 + 2*6.25*s +(100 sqrt(5))²= 0

s2≈ -6.25 - 223.519 i (1/s)     s1≈ -6.25 + 223.519 i (1/s)

posto beta = sqrt(wo² - alfa²) = sqrt((100 sqrt(5))^2- 6.25^2) = 

vc(t) = (A1*cos(beta*t) + A2 *sen(beta*t))e^(alfa*t) = Ae^-(alfa*t) *cos(beta*t + phi)

queste vanno riscritte...

vc(0) = A1 = 0 ---> A1 = 0   

dvc(0+)/dt = dqc(0+)/dt*1/C = ic(0+)*1/C  = -iL(0+) {perchè a 0+ C è un corto e iR (0+) = 0 A c} = - 3 A = A1*(-alfa) +A2*beta= 0 + A2*beta = A2sqrt(wo² - alfa²) ---> A2 = - 3/(sqrt((100 sqrt(5))^2- 6.25^2)) = -0.01342...V 

il sistema blu fornisce A1 e A2

vc(t) = (A1*cos(beta*t) + A2 *sen(beta*t))e^(-alfa*t) = ( A2 *sen(beta*t))e^(-alfa*t) =~ -0.01342* sen(beta*t) e^(-alfa*t)) V

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(a)

dato il corto di L per t -->0 è:

vc(0) = vc(0-) = vc(0+) = J*R1*R2/(R1+R2) = 3*20*40/60 = 40 V

iL(0) = iL(0-) = iL(0+) = 0 A
per t>= 0 il circuito è serie con fem E =0V

alfa = R2/(2*L) = 40/(2*10*10^-3) = 2000 (1/s) e wo = 1/sqrt(L*C) = 1/sqrt(10*10^-3*2*10^-3) = ~ 223.61 (1/s) < alfa ---> delta >0 soluz reali e distinte ---> modo aperiodico o smorzamento forte ...
se i calcoli sono corretti (controlla!!!)

i(t) = A1*e^(s1*t) + A2*e^(s2*t)

i(0)= iL(0) = A1 + A2 = 0  ---> A1 = -A2

di(0+)/dt = diL(0+)/dt = vL(0+)/L = -vc(0)/L{perchè a 0+  e iR2(0+) = iL(0+) = 0 A ... non esiste la di/dt in 0 ma son diverse di(0-)/dt e di(0+)/dt}= -40/(10*10^-3) =- 4000 = A1*s1 + A2*s2 = A1(s1-s2) ---> A1 = -4000/(2sqrt(alfa² -wo²)) = -4000/(2sqrt(2000^2-1/(10*10^-3*2*10^-3))) = -4 sqrt(5/79) =~-1.0  =~ -A2

(b)

energia iniziale tutta su C ----> C*vc(0)²/2 = 2*10^-3*40/2 = 0.040 J = 40 mJ

per t--->oo  si dissipa tutta su R2