[Risolto] Esercizio logaritmi

Vediamo dove l'espressione ha senso.

• C.E. Condizioni di esistenza.
  • • $x^2-3x > 0 \; ⇒ \; x \lt 0 \;  \lor \; x \gt 3$
    • $6-x > 0 \; ⇒ \; x \lt 6$
  • C.E. = (-∞, 0) U (3, 6)
• Soluzione

$ log_{\frac{1}{3}} (x^2-3x) - log_{\frac{1}{3}} (6-x)^2 + log_{\frac{1}{3}} (4) \lt 0 $

$ log_{\frac{1}{3}} \frac {4x(x-3)}{(6-x)^2} \lt 0 $

nota: la base è < 1 quindi la funzione è monotona decrescente. Applicando la base 1/3 ad ambo i membri e ricordando che l'esponenziale è la funzione inversa del logaritmo

$ \frac {4x(x-3)}{(6-x)^2} \gt 1 $

Le cui soluzioni sono:

1. $\; x \gt 6$
2. $\;  2\sqrt{3} \,\lt \, x\, \lt\,  6 $
3. $\;  x \, \lt \, -2\sqrt{3}$

Incrociate con il C.E. ci danno

$S = (-∞, -2\sqrt{3}) \; \cup \; (2\sqrt{3}, 6) $