4
punti
Livello 0
\[\int \arctan{x} \: dx \neq \frac{1}{1 + x^2} + k\in \mathbb{R}\]
\[\int\frac{1}{1 + x^2} \: dx = \arctan{x} + k\in \mathbb{R}\,.\]
Utilizzando il metodo di integrazione per parti:
\[\int x\arctan{x} \:dx = \frac{x^2}{2}\arctan{x} - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1 + x^2} \:dx \implies\]
\[\int x\arctan{x} \:dx = \frac{x^2}{2}\arctan{x} - \frac{1}{2}\int \left(1 - \frac{1}{1 + x^2}\right) \:dx \implies\]
\[\int x\arctan{x} \:dx = \frac{x^2}{2}\arctan{x} - \frac{x}{2} + \frac{\arctan{x}}{2} + k\in \mathbb{R}\,.\]
3531
punti
Livello 5
@enrico_bufacchi scusami perchè al secondo passaggio la x^2del numeratore non c'è più?
grazie mille
Ciao @pingu99, semplicemente perché
\[\frac{x^2}{1 + x^2} = \frac{x^2 + 1 - 1}{1 + x^2} = \frac{x^2 + 1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} = 1 - \frac{1}{1 + x^2}\,.\]
In modo tale da sfruttare la linearità dell'operatore integrale.