[Risolto] Scrivi l'equazione della circonferenza di raggio

Svolgo solo fino alla determinazione di A e B, il resto ti é chiaro.

Se il centro é sulla retta y = x, le sue coordinate sono (xc, xc) = (k, k) con k > 0.

Abbiamo quindi il fascio di circonferenze

x^2 + y^2 - 2kx - 2ky + c = 0

con r^2 = 25

che significa (-2k)^2/4 + (-2k)^2/4 - c = 25

k^2 + k^2 - c = 25

c = 2k^2 - 25

x^2 + y^2 - 2kx - 2ky + 2k^2 - 25 = 0

Intersecando questa circonferenza con l'asse x,

ponendo cioé y = 0, viene la risolvente

x^2 - 2kx + 2k^2 - 25 = 0

le cui soluzioni sono le ascisse di A e B.

Per le proprietà delle equazioni di secondo grado, e poiché AB si trova
sull'asse x, si può scrivere

AB = |xB - xA| = rad(Dr)/|A|

e poiché A = 1

8 = rad(Dr) => Dr = 64

4 k^2 - 4 (2k^2 - 25 ) = 64

k^2 - 2k^2 + 25 = 16

25 - 16 = k^2

k^2 = 9

k = 3 (si prende quella positiva, come indicato nella traccia)

e si ha l'equazione della circonferenza

x^2 + y^2 - 2*3x - 2*3y + 2*9 - 25 = 0

x^2 + y^2 - 6x - 6y - 7 = 0

per cui ponendo y = 0

x^2 - 6x - 7 = 0

x^2 - 7x + x - 7 = 0

x(x - 7) + (x - 7) = 0

(x+1) (x-7) = 0

xA = -1 e xB = 7

Così A = (-1;0) e B = (7;0)

1) "circonferenza di raggio 5" ≡
≡ Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = 5^2, con C(a, b)
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2) "C sulla bisettrice del primo e terzo quadrante (xc maggiore di 0)" ≡
≡ "C sulla bisettrice del primo quadrante" ≡ C(k, k)
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1 & 2 ≡ Γ ≡ (x - k)^2 + (y - k)^2 = 25
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"stacca sull'asse x una corda AB lunga 8 (xa minore di xb)"
* asse x ≡ y = 0
* (y = 0) & ((x - k)^2 + (y - k)^2 = 25) →
→ (x - k)^2 + (0 - k)^2 - 25 = 0 ≡
≡ x = k ± √(25 - k^2) →
→ A(k - √(25 - k^2), 0), B(k + √(25 - k^2), 0)
* |AB| = 2*√(25 - k^2) = 8 ≡
≡ k = ± 3
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"xc maggiore di 0" ≡ k > 0
* (k = ± 3) & (k > 0) ≡ k = 3
da cui
* A(3 - √(25 - 3^2), 0), B(3 + √(25 - 3^2), 0) ≡
≡ A(- 1, 0), B(7, 0)
* Γ ≡ (x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 25
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D0%2C%28x-3%29%5E2--%28y-3%29%5E2%3D25%5D