Due barre cilindriche hanno la stessa massa

Come prima cosa nella traccia non ci sono i valori dei coefficienti di conducibilità termica per i due metalli, staranno sul libro in qualche tabella, io li ho trovati online ma dovrebbero essere grossomodo gli stessi.

Poi per risolvere il problema devi imporre le uniche due condizioni che ci dà la traccia: che sia il calore sia la massa delle sbarre è diversa.

Dal fatto che la massa è uguale si può ricavare un equazione che lega tra loro i raggi e le lunghezza delle due sbarre da cui ho ricavato il raggio 2 al quadrato in funzioni degli altri elementi. Imponendo il calore scambiato uguale si riesce ad isolare il rapporto tra le lunghezze.

Conoscendo questo rapporto poi si può trovare anche il rapporto tra i raggi.

Due barre cilindriche hanno la stessa massa: una è di argento (densità 10500 kg/m ^3) , mentre l'altra è di ferro (densita 7860 kg/m^3 ). Se ai loro estremi viene mantenuta la stessa differenza di temperatura, entrambe conducono la stessa quantità di calore ogni secondo.
- Qual è il rapporto (argento/ferro) tra le lunghezze delle due barre e tra i loro raggi?
[2,0:0,61]

La conducibilità termica λ è misurata in W/(m*°C) , essendo il watt l'unità di misura della potenza, il metro l'unità di misura della lunghezza ed il °C l'unità di misura della temperatura. 

Conducibilità termica  di alcune sostanze

Sostanza     λ [W/(m*°C]
diamante       1600 
argento           460 
rame               390 
oro                  320 
alluminio        290
ottone             111 
ferro                 80

conducibilità termica argento λag = 460

conducibilità termica ferro λfe = 80 

La energia termica condotta E vale  λ*A/L*ΔT

poiché ΔT è la stessa , allora : 

λag*(Aag/Lag) = λfe*(Afe/Lfe) 

λag*(Aag/Lag )/(Afe/Lfe) = λfe

(Aag/Lag )/(Afe/Lfe) = λfe/λag = 80/460 = 8/46 = 4/23 

avendo la stessa massa (area A*lunghezza L*densità ρ), vale la relazione :

(Aag*Lag)*ρag = (Afe*Lfe)*ρfe 

(Aag*Lag)/(Afe*Lfe)*ρag = ρfe 

(Aag*Lag)/(Afe*Lfe) = ρfe /ρag = 7860/10500 = 0,75

Aag = 0,75 Afe*Lfe/Lag 

Lfe/Lag = 4/3*Aag/Afe

Aag/Afe*1,33Aag/Afe = 1,33 Aag^2/Afe^2 = 4/23

Aag/Afe = √4/(23*4/3) = 0,36

rag /rfe = √0,36 = 0,60 

Afe*0,36*Lag = 0,75*Afe*Lfe

Afe si semplifica

0,36Lag/Lfe = 0,75

Lag/Lfe = 0,75/0,36 = 2,1 

Una faticaccia 😓😓😓