Due barre cilindriche hanno la stessa massa

Due barre cilindriche hanno la stessa massa: una è di argento (densità 10500 kg/m ^3) , mentre l'altra è di ferro (densita 7860 kg/m^3 ). Se ai loro estremi viene mantenuta la stessa differenza di temperatura, entrambe conducono la stessa quantità di calore ogni secondo.
- Qual è il rapporto (argento/ferro) tra le lunghezze delle due barre e tra i loro raggi?
[2,0:0,61]

La conducibilità termica λ è misurata in W/(m*°C) , essendo il watt l'unità di misura della potenza, il metro l'unità di misura della lunghezza ed il °C l'unità di misura della temperatura. 

Conducibilità termica  di alcune sostanze

Sostanza     λ [W/(m*°C]
diamante       1600 
argento           460 
rame               390 
oro                  320 
alluminio        290
ottone             111 
ferro                 80

conducibilità termica argento λag = 460

conducibilità termica ferro λfe = 80 

La energia termica condotta E vale  λ*A/L*ΔT

poiché ΔT è la stessa , allora : 

λag*(Aag/Lag) = λfe*(Afe/Lfe) 

λag*(Aag/Lag )/(Afe/Lfe) = λfe

(Aag/Lag )/(Afe/Lfe) = λfe/λag = 80/460 = 8/46 = 4/23 

avendo la stessa massa (area A*lunghezza L*densità ρ), vale la relazione :

(Aag*Lag)*ρag = (Afe*Lfe)*ρfe 

(Aag*Lag)/(Afe*Lfe)*ρag = ρfe 

(Aag*Lag)/(Afe*Lfe) = ρfe /ρag = 7860/10500 = 0,75

Aag = 0,75 Afe*Lfe/Lag 

Lfe/Lag = 4/3*Aag/Afe

Aag/Afe*1,33Aag/Afe = 1,33 Aag^2/Afe^2 = 4/23

Aag/Afe = √4/(23*4/3) = 0,36

rag /rfe = √0,36 = 0,60 

Afe*0,36*Lag = 0,75*Afe*Lfe

Afe si semplifica

0,36Lag/Lfe = 0,75

Lag/Lfe = 0,75/0,36 = 2,1 

Una faticaccia 😓😓😓