Prima di arrivare alla risoluzione dell'esercizio cerchiamo di capire cosa sono realmente queste frazioni. Una frazione o numero $razionale$ è un numero ottenibile come rapporto tra due numeri interi primi, il secondo dei quali diverso da $0$. Ogni numero razionale quindi può essere espresso mediante una frazione $\displaystyle\frac{a}{b}$, di cui $a$ è detto il numeratore e $b$ il denominatore. Inoltre I numeri razionali formano un campo, indicato con il simbolo $\displaystyle\mathbb{Q}$. Più precisamente attraverso un linguaggio più formalizzato potremo dire che :
$Sia$ $K$ $un$ $insieme$ $non$ $vuoto$ $dotato$ $di$ $due$ $operazioni$ $binarie$ $chiamate$ $usualmente$ $+$ $e$ $\cdot$, $esso$ $è$ $un$ $campo$ $se$ $e$ $solo$ $se$ $valgono$ $le$ $seguenti$ $proprietà$ :
- $La$ $struttura$ $algebrica$ $\bigl($ $K$, $+$ $\bigr)$ $forma$ $un$ $gruppo$ $abeliano$;
- $La$ $struttura$ $algebrica$ $\bigl($ $K$ \ $\{$ $0$ $\}$, $\cdot$ $\bigr)$ $forma$ $gruppo$ $abeliano$;
$in$ $cui$ $per$ $ogni$ $elemento$ $a$ $\neq$ $0$ $\in$ $K$ $esiste$ $a^{-1}$ $=$ $\displaystyle\frac{1}{a}$ $tale$ $che$ $a$ $\cdot$ $a^{-1}$ $=$ $1_{k}$
- $La$ $moltiplicazione$ $è$ $distributiva$ $rispetto$ $all$' $addizione$
L'insieme dei numeri razionali $\displaystyle\mathbb{Q}$, con le operazioni di addizione e moltiplicazione usuali tra numeri risulta soddisfare queste proprietà e di conseguenza può essere definito campo.
Detto questo cerchiamo di capire come queste proprietà ci possono essere utili per la risoluzione del nostro esercizio. Come abbiamo già osservato, un numero appartenente all'insieme dei numeri razionali può essere scritto sotto forma di frazione ma in algebra astratta scrivere $\displaystyle\frac{a}{b}$ significa scrivere $a$ $\cdot$ $\displaystyle\frac{1}{b}$ o equivalentemente $a$ $\cdot$ $b^{-1}$ dove $b^{-1}$ è un elemento invertibile appartenente al campo come abbiamo precedentemente osservato tra le sue proprietà. Quindi cerchiamo di adottare questo approccio per risolvere l'esercizio. Come prima cosa sappiamo che la divisione risulta essere l'operazione inversa della moltiplicazione quindi :
$Supponendo$ $b$ $\neq$ $0$ abbiamo che $\bigl($ $\displaystyle\frac{a}{b}$ $=$ $c$ $\bigr)$ $\iff$ $\bigl($ $a$ $=$ $bc$ $\bigr)$
Dunque :
$\displaystyle\frac{ 3 }{ 4 }$ $=$ $3$ $\cdot$ $\displaystyle\frac{1}{4}$ $=$ $3$ $\cdot$ $4^{-1}$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle\frac{ 2 }{ \displaystyle\frac{ 3 }{ 4 } }$ $=$ $\displaystyle\frac{ 2 }{ 3 \cdot 4^{-1} }$ $=$ $2$ $\cdot$ $\displaystyle\frac{1}{3 \space \cdot 4^{-1} }$ $=$ $2$ $\cdot$ $\bigl($ $3$$\cdot$$4^{-1}$$\bigr)^{-1}$
Questo implica che :
$\displaystyle\frac{ 1 }{ 2 \cdot \bigl(3 \cdot 4^{-1} \bigr)^{-1} }$ $=$ $c$ $\iff$ $1$ $=$ $2$ $\cdot$ $\bigl($ $3$ $\cdot$ $4^{-1}$ $\bigr)^{-1}$ $c$ $\iff$ $\displaystyle\frac{ 3}{ 4 }$ $=$ $2c$ $\iff$ $3$ $=$ $8c$ $\iff$ $c$ $=$ $\displaystyle\frac{ 3 }{ 8 }$
