Dubbio esercizio fascio di parabole

y = a·x^2 + b·x + c è la parabola

Punto di tangenza

y = x - 3  per x = 1----> y = 1 - 3---> y = -2

quindi: y = x - 3 è retta tangente in [1, -2] alla parabola

Tramite formule di sdoppiamento possiamo scrivere:

(y - 2)/2 = a·1·x + b·(x + 1)/2 + c da cui:

y = x·(2·a + b) + b + 2·c + 2

Confronto l'equazione ottenuta con la retta tangente:

{2·a + b = 1

{b + 2·c + 2 = -3

Risolvo il sistema ed ottengo: [b = 1 - 2·a ∧ c = a - 3]

Quindi affermo che il fascio di parabole richiesto si può scrivere:

y = a·x^2 + (1 - 2·a)·x + (a - 3)

(VERIFICA:

a·x^2 + (1 - 2·a)·x + (a - 3) - y = 0 risistemo:

a·(x^2 - 2·x + 1) + x - y - 3 = 0

Punti base:

{x^2 - 2·x + 1 = 0

{x - y - 3 = 0

risolvo: [x = 1 ∧ y = -2] Un solo punto base e retta tangente x - y - 3 = 0))

Con riferimento alla parabola trovata nel parametro a possiamo dire che il vertice si trova sul suo asse, quindi:

x = (2·a - 1)/(2·a) è l'equazione dell'asse della parabola

Tale vertice deve trovarsi su 4·x - 4·y - 11 = 0, quindi deve avere ordinata pari a:

4·((2·a - 1)/(2·a)) - 4·y - 11 = 0---> y = - (7·a + 2)/(4·a)

D'altra parte si ha pure che:

y = a·((2·a - 1)/(2·a))^2 + (1 - 2·a)·((2·a - 1)/(2·a)) + (a - 3)

y = - (8·a + 1)/(4·a)

Ma le due ordinate devono coincidere:

- (7·a + 2)/(4·a) = - (8·a + 1)/(4·a)

quindi risolvendo: a = 1

La parabola cercata è:

y = 1·x^2 + (1 - 2·1)·x + (1 - 3)

y = x^2 - x - 2

La retta
* t ≡ y = x - 3
di pendenza m = 1, all'ascissa uno ha il punto T(1, - 2).
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La retta
* r ≡ 4*x - 4*y - 11 = 0 ≡ y = x - 11/4
anch'essa di pendenza m = 1, ha cursore R(k, k - 11/4).
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Le parabole Γ non degeneri con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
hanno
* equazione Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
* pendenza m(x) = 2*a*(x - w)
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Il fascio richiesto deve consistere di parabole che passano per T con pendenza uno
* (- 2 = h + a*(1 - w)^2) & (2*a*(1 - w) = 1) ≡
≡ (w = (2*a - 1)/(2*a)) & (h = - (8*a + 1)/(4*a))
da cui l'equazione del fascio
* Γ(a) ≡ y = - (8*a + 1)/(4*a) + a*(x - (2*a - 1)/(2*a))^2 ≡
≡ y = a*x^2 - (2*a - 1)*x + (a - 3)
e, eliminando a, il luogo dei vertici
* (x = (2*a - 1)/(2*a)) & (y = - (8*a + 1)/(4*a)) ≡
≡ (a = 1/(2 - 2*x)) & (y = (x - 5)/2) & (x != 1)
cioè
* v ≡ y = (x - 5)/2
che è sì una retta, ma con un buco su T dove non può esservi vertice con pendenza non zero.
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Infine l'apertura della parabola richiesta, con vertice
* v & r ≡ (y = (x - 5)/2) & (y = x - 11/4) ≡ V(1/2, - 9/4)
si ricava dalle identità
* (w = (2*a - 1)/(2*a) = 1/2) & (h = - (8*a + 1)/(4*a) = - 9/4) ≡ a = 1
ottenendo
* Γ(1) ≡ y = x^2 - x - 2 ≡ y = (x + 1)*(x - 2)
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Nota sul precetto «Titolo adeguato»
L'affermazione "non so come svolgere" non pare ben classificabile nella categoria "dubbio".