Dubbio equazione parametrica

Question

Ciao a tutti, sto facendo esercizi riguardanti le equazioni parametriche per la prima volta ed ho dei dubbi.

L'esercizio in questione è:

$k^2x-k^2=3k-kx+2\:$

Discutere l'insieme delle soluzioni al variare del parametro $k$.

Da quanto ho capito dalla teoria, i parametri in questo caso conviene discuterli quando si ha l'equazione in forma base (correggetemi se sbaglio), ho risolto dunque l'espressione portandola alla forma base:

$x\\displaystyle\frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)}{k\left(k+1\right)}$

Ho cominciato a discutere i parametri, salta all'occhio che se $k=0$ allora l'equazione perde significato.
Ho scritto anche che se $k\ne 0$ l'equazione è determinata.

Confrontando con il risultato, ho però trovato diverse discrepanze.

Secondo quest'ultimo, se $k=-1$ allora si ha un'equazione indeterminata. (Questo valore non l'avevo nemmeno considerato ?...)

E che dunque per $k\ne 0$ e $k\ne -1$ allora si ha un'equazione determinata e che ammette soluzione $x\$.

Non capisco dove sia sbagliato il mio ragionamento e perché l'equazione diventa indeterminata per $k=-1$, se provo a sostituire si ha $x\\displaystyle\frac{0}{0}$ che non dovrebbe aver significato e dunque dovrebbe essere impossibile secondo il mio pensiero.

Grazie in anticipo a chi risponderà.

Autore

Risposta

ILoveYou

(@iloveyou)

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13/04/2020 19:02

exProf · Accepted Answer

PROCEDERE A PICCOLI PASSI E VERIFICARE LA VALIDITA' DEI PASSAGGI.
------------------------------
A) Sottrarre membro a membro il secondo membro; sviluppare; ridurre.
* (k^2)*x - k^2 = 3*k - k*x + 2 ≡
≡ (k^2)*x - k^2 - (3*k - k*x + 2) = 0 ≡
≡ (k^2)*x - k^2 - 3*k + k*x - 2 = 0 ≡
≡ (k^2)*x + k*x - k^2 - 3*k - 2 = 0 ≡
≡ k*(k + 1)*x - (k + 2)*(k + 1) = 0
In tutte queste forme l'equazione è definita per ogni x ed ogni k.
------------------------------
B) Esaminare i casi particolari.
---------------
* k = - 2: - 2*(- 2 + 1)*x - (- 2 + 2)*(- 2 + 1) = 0 ≡
≡ 2*x = 0 ≡ x = 0 [l'equazione è banalmente determinata]
---------------
* k = - 1: - 1*(- 1 + 1)*x - (- 1 + 2)*(- 1 + 1) = 0 ≡
≡ 0*x - 0 = 0 ≡ 0 = 0 [l'equazione è indeterminata]
---------------
* k = 0: 0*(0 + 1)*x - (0 + 2)*(0 + 1) = 0 ≡
≡ 0*x - 2 = 0 ≡ 0 = 2 [l'equazione è impossibile]
------------------------------
C) Presentare il caso generale.
* ((k^2)*x - k^2 = 3*k - k*x + 2) & (k non in {- 1, 0}) ≡
≡ x = (k + 2)/k [l'equazione è determinata]
==============================
DISCUTERE L'INSIEME {s} DELLE SOLUZIONI AL VARIARE DEL PARAMETRO k.
------------------------------
* k = - 2: |{s}| = 1.
* k = - 1: |{s}| = ∞.
* k = 0: |{s}| = 0.
k non in {- 1, 0}: |{s}| = 1.

exProf

(@exprof)

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13/04/2020 22:48

Pazzouomo · Answer

Ciao!

In linea di massima è un ragionamento che funziona: si trovano le soluzioni e si trattano come una funzione a parte, discutendone l'esistenza al variare del valore di $k$.

Se ripercorri lo svolgimento, però, ci sono delle cose che vanno discusse prima di trovare la soluzione. Mi spiego meglio:

$k^2 x - k^2 = 3k-kx +2 $

$k^2 x +kx = 3k+2+k^2 $

$x k(k+1) = (k+2)(k+1)$

a questo punto dovresti dividere per $k(k+1)$, ma puoi dividere soltanto se ti assicuri che l'oggetto per cui stai dividendo è non nullo! Quindi la condizione su il "denominatore" va studiata prima di dividere!

Abbiamo $k(k+1) \neq 0 \Rightarrow k \neq 0 \vee k \neq-1 $

a questo punto vediamo cosa succede se $k$ assume questi valori che abbiamo escluso:

se $k = 0$ $\Rightarrow 0 = 2 \Rightarrow $ impossibile.

se $k = -1$ $\Rightarrow 0 = 0 \Rightarrow $ indeterminata.

Se invece $k \neq 0 \vee k \neq -1 $ allora la soluzione è determinata, posso portare $k(k+1)$ al denominatore e semplificare, ottenendo

$ x= \frac{k+2}{k} $

Pazzouomo

(@pazzouomo)

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13/04/2020 19:24

[Risolto] Dubbio equazione parametrica

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